午前 7 時起床.
泥のように眠った. 本当に疲れていたのだろう.
死んだように寝たせいか, 悪い夢を見なかったのはよかった.
今日が本当の認知療法の日である.
昼過ぎに家を出てクリニックに行く.
今日の認知療法では, 最近の体調と前々回に PSW さんから提案された行動についての報告が主な内容だった.
最近の体調はいい.
生活のリズムができたのが嬉しい.
これは突然できた. それまで全然朝起きることができなかったのに.
考えてみれば, 本を読めるようになったのも突然だった記憶がある.
そういうものなのだろうか?
そして自分に自信を持てるものが何一つ無いということに関して.
前々回の認知療法のときに, 波はあるけれどいつもの梅雨時の鬱も以前ほど苦しくはないように感じると話した.
長い目で見るとひたすら休んでいるおかげか, 確実に鬱から回復している実感があるとも.
しかし自分に自信を持てるものが何も無いのがとても苦しいと伝えた.
そうしたら PSW さんから一つの提案があった.
自分は○○を持っている, とか 自分には○○がある, という言葉を何でもいいので肯定的な言葉を考えてください.
少し考えて無いです, と答えたが, 何でもいいから小さなことでも何でも何か一つでも, と言われもう少し考えた.
思いついたのは 自分は絵を描き数学を考えチラシを配っている という言葉.
PSW さんからの提案は, この言葉を毎日, 朝起きたときでも夜寝る前でもいつでもいいので声に出して言うこと だった.
10 回でも 20 回でも,... 1000 回でも繰り返して言って.
翌日から始めた.
朝起きて最初にこの言葉を口にしようとしたら出てこない.
動悸が激しい.
言いたくない. 心と身体が全力で自分を肯定する言葉を口にすることに抵抗し, 拒否している.
こんな強烈なロックが自分の心に掛かっていたのか.
何とか一度だけ言ったが, その後動悸が苦しくて横になって休んだ.
毎日続けているが, この言葉を言うのは苦しい.
それでも毎日 3, 4 回くらいは言えるようになってきたし, 最初の激しい抵抗と拒絶もやや穏やかになってきたような気がする.
とにかくどうしても自分を認めたくない自分が居ることはわかった.
びっくりしたが, 相手が見えるようになったことは良い.
2017年08月31日
2017年08月30日
図書館に行く 〜 認知療法へ行くが予約日を間違えていた
4 時半起床.
数学を少しやる.
区切りがついてから図書館に行って本を借りてきた.
新藤兼人さんの『老人読書日記』という本. たまたま手にとって斜め読みしてみたらとても面白かったので借りた.
この本の出だしの「はじめに」の中に次のような一節がある.
人は一生仕事をして生きる、何人もそうである。君は何のために生きているか、と問われれば、躊躇なくわたしは、仕事のために生きていると答えるだろう。
いい言葉だと思う. 正しいと思う.
こういうところに辿り着きたい.
相当難しい.
昼過ぎに家を出てクリニックに行く.
今日は認知療法を受ける.
それと, 障害年金の「障害状態確認届」を提出してくださいという旨の封書が日本年金機構から来ているので, 主治医に診断書を書いてもらうよう依頼をしてくる.
クリニックに着いて PSW さんに挨拶をしたら, 認知療法の日は明日の 31 日だと言う.
慌てて手帳をを確認してみたら, 前回認知療法を受けた日のメモに確かに「次回: 8/31 (木)」 と書いてある.
何だろう.
しかし, もう一つ, 診断書の依頼をしないといけない.
今日は診察が混み合っていて, 長時間待った.
数学をやりながら待っていたので, 長時間待つのはそれほど苦にはならない.
しかし精神的な動揺が激しい.
それでもお願いをして帰宅の途につく.
そうしたら帰りの電車を逆方向に行くのに乗ってしまった.
しかもすぐに気付かない.
2 つの駅に停車した時点でようやく気がついた.
信じられない. このミスはあまりにもひどい.
何度も何度も同じ電車に乗って行き, 同じ電車に乗って帰っている.
そして逆方向の電車はホームも別なのだ.
頭がおかしくなったのでは, と思った.
おそらく精神的に軽いパニックに陥っていたのだと思う.
ショックだった.
繰り返すがあまりにもひどい.
激しい自己嫌悪・自己否定の念が起こって電車を降りた時点で動けなくなってしまった.
精神的な疲労が激しく, 帰宅してすぐに布団に倒れこんだ.
こんなことでこれから生きていけるのか.
数学を少しやる.
区切りがついてから図書館に行って本を借りてきた.
新藤兼人さんの『老人読書日記』という本. たまたま手にとって斜め読みしてみたらとても面白かったので借りた.
この本の出だしの「はじめに」の中に次のような一節がある.
人は一生仕事をして生きる、何人もそうである。君は何のために生きているか、と問われれば、躊躇なくわたしは、仕事のために生きていると答えるだろう。
いい言葉だと思う. 正しいと思う.
こういうところに辿り着きたい.
相当難しい.
昼過ぎに家を出てクリニックに行く.
今日は認知療法を受ける.
それと, 障害年金の「障害状態確認届」を提出してくださいという旨の封書が日本年金機構から来ているので, 主治医に診断書を書いてもらうよう依頼をしてくる.
クリニックに着いて PSW さんに挨拶をしたら, 認知療法の日は明日の 31 日だと言う.
慌てて手帳をを確認してみたら, 前回認知療法を受けた日のメモに確かに「次回: 8/31 (木)」 と書いてある.
何だろう.
しかし, もう一つ, 診断書の依頼をしないといけない.
今日は診察が混み合っていて, 長時間待った.
数学をやりながら待っていたので, 長時間待つのはそれほど苦にはならない.
しかし精神的な動揺が激しい.
それでもお願いをして帰宅の途につく.
そうしたら帰りの電車を逆方向に行くのに乗ってしまった.
しかもすぐに気付かない.
2 つの駅に停車した時点でようやく気がついた.
信じられない. このミスはあまりにもひどい.
何度も何度も同じ電車に乗って行き, 同じ電車に乗って帰っている.
そして逆方向の電車はホームも別なのだ.
頭がおかしくなったのでは, と思った.
おそらく精神的に軽いパニックに陥っていたのだと思う.
ショックだった.
繰り返すがあまりにもひどい.
激しい自己嫌悪・自己否定の念が起こって電車を降りた時点で動けなくなってしまった.
精神的な疲労が激しく, 帰宅してすぐに布団に倒れこんだ.
こんなことでこれから生きていけるのか.
2017年08月29日
数学: 圏としてのモノイドとその逆圏
数学: 圏としての群・モノイド・半順序集合の逆圏 (修正版)
の続き.
次の練習問題を解き終えた (全体の見直しはまだ).
($a$) 任意の単一の群はそれ自体圏と見做せる. 圏としての群の逆圏は何かを説明せよ. この圏が元の圏としての群と同型になること, および同型ではあるが, 同一となるとは限らないことを示せ.
($b$) 上の ($a$) と同様のことをモノイド (結合律を満たす 2 項演算と単位元を持つ集合 = 単位元を持つ半群) に対して行え. その際, 逆圏としてのモノイドが元のモノイドと必ずしも同型にならないことを示せ.
($c$) 上の ($b$) と同様のことを半順序集合に対して行え.
($b$) 群と同様, 任意のモノイドは圏と考えることができる.
$M$ を任意のモノイドとする. $M$ は単位元 '$e$' を持ち, $M$ 上の積 '$・$' は結合律を満たす.
モノイド $M$ を圏として構成する.
対象の集合 $O$ を 1 個だけの元 ('$\bullet$' により表わす) からなる集合として,
\begin{equation*}
O = \left\{\, \bullet \,\right\}
\end{equation*} と定義する.
射の集合 $A$ をモノイド $M$ 自身により
\begin{equation*}
A = M
\end{equation*} と定義する.
$A = M$ の各元 $x$ を, 対象 $\bullet \in O$ からそれ自身への射と考えて
\begin{equation*}
x : \bullet \longrightarrow \bullet
\end{equation*} と記す.
関数 $d^0, d^1 : A \to O$, $u : O \to A$, $m : P = A \times A = M \times M \to A$ を次のように定義する.
・ $d^0, d^1 : A \to O$ は各 $(x : \bullet \to \bullet) \in A$ に対してソース $\bullet$ とターゲット $\bullet$ を対応させる関数.
\begin{equation*}
d^0(x) = \bullet, \quad d^1(x) = \bullet \quad (x \in A).
\end{equation*}
・ $u : O \to A$ は唯一の対象 $\bullet$ に対してモノイド $M$ の単位元 $e$ を対応させる関数.
\begin{equation*}
u(\bullet) = (e : \bullet \to \bullet) = e.
\end{equation*}
・ $m : P \to A$ は各 $(x, y) \in P$ に対して
\begin{equation*}
m(x, y) = xy = x \cdot y
\end{equation*} により定義される関数.
モノイド $M$ を 6 つ組
\begin{equation*}
M = (A, O, d^0, d^1, u, m)
\end{equation*} と表わす.
このとき $M$ がモノイドであることから以下のような図式の可換性が成立する.
(i) $M$ が単位元を持つこと (これにより空集合 $\varnothing$ はモノイドになり得ない. 群の場合と同じ) を示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{d^0} & O \ar[l]_{u} \ar[d]^{\mathrm{id}_{O}} \ar[r]^{u} & A \ar[dl]^{d^1} \\
~ & O & ~
}
\end{equation*}
(ii) $M$ 上の積が $M$ に関して閉じていることを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_2} & A \ar[d]^{d^0} & P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_1} & A \ar[d]^{d^1} \\
A \ar[r]_{d^0} & O & A \ar[r]_{d^1} & O
}
\end{equation*} ここで $p_1, p_2 : P \to A$ は座標射影で $p_1(x, y) = x,\, p_2(x, y) = y$ により定義される.
(iii) 任意の $x \in M$ に対して単位元 $e$ が $x \cdot e = x = e \cdot x$ を満たすことを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{\mathrm{id}_{A}} & P \ar[l]_{(\mathrm{id}_{A}, u \circ d^0)} \ar[d]^m \ar[r]^{(d^1 \circ u, \mathrm{id}_{A})} & A \ar[dl]^{\mathrm{id}_{A}} \\
~ & A &
}
\end{equation*}
(iv) $M$ 上の積が結合律を満たすことを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
Q \ar[d]_{m \times \mathrm{id}_{A}} \ar[r]^{\mathrm{id}_{A} \times m} & P \ar[d]^m \\
P \ar[r]_m & A
}
\end{equation*} ここで $Q = A \times A \times A = M \times M \times M$ である.
これによりモノイド $M$ を圏と見做すことができる.
モノイド $M$ を圏と見做したとき, その逆圏 $M^{\mathrm{op}}$ もモノイドになることがわかる.
モノイド $M^{\mathrm{op}}$ の各元を, $x \in M$ に対して $x^{\mathrm{op}}$ と記すことにする.
$M^{\mathrm{op}}$ は 6 つ組
\begin{equation*}
M^{\mathrm{op}} = (A^{\mathrm{op}}, O^{\mathrm{op}}, d^{0,\mathrm{op}}, d^{1,\mathrm{op}}, u^{\mathrm{op}}, m^{\mathrm{op}})
\end{equation*}
として定義する. 個々の構成要素は次のように定められる.
・ 対象の集合 $O^{\mathrm{op}} = \mathrm{Ob}(M^{\mathrm{op}}) = O = \left\{\, \bullet \,\right\}$: 単一の元のみからなる集合.
・ 射の集合 $A^{\mathrm{op}} = \mathrm{Ar}(M^{\mathrm{op}}) = M^{\mathrm{op}}$: モノイド $M$ の台集合の上に積 "$\cdot^{\mathrm{op}}$" を入れて定まるモノイド (後述: $x \cdot^{\mathrm{op}} y = y \cdot x$ により定義される).
・ $d^{0,\mathrm{op}}, d^{1,\mathrm{op}} : A^{\mathrm{op}} \to O^{\mathrm{op}}$ は各 $(x : \bullet \to \bullet) = x \in \mathrm{Ar}(M^{\mathrm{op}}) = M^{\mathrm{op}}$ に対して唯一の対象 $\bullet$ を対応させる関数.
・ $u^{\mathrm{op}} : O^{\mathrm{op}} \to A^{\mathrm{op}}$ は $\bullet \in O^{\mathrm{op}}$ に対して $M^{\mathrm{op}}$ の単位元
\begin{equation*}
u^{\mathrm{op}}(\bullet) = (e^{\mathrm{op}} : \bullet \to \bullet) = e^{\mathrm{op}}
\end{equation*} を対応させる関数.
・ $m^{\mathrm{op}} : P^{\mathrm{op}} = M^{\mathrm{op}} \times M^{\mathrm{op}} \to M^{\mathrm{op}}$ は各 $(x^{\mathrm{op}}, y^{\mathrm{op}}) \in P^{\mathrm{op}}$ に対して
\begin{equation*}
m^{\mathrm{op}}(x^{\mathrm{op}}, y^{\mathrm{op}}) = x^{\mathrm{op}}y^{\mathrm{op}} = x^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} y^{\mathrm{op}} = y \cdot x
\end{equation*} により定義される関数.
モノイド $M$ と逆圏としてのモノイド $M^{\mathrm{op}}$ の違いは群の場合と同様に積の構造にある.
関数 $i : M \to M^{\mathrm{op}}$ を
\begin{equation*}
i(x) = x^{\mathrm{op}} \quad (x \in M)
\end{equation*} と定義すると, これはモノイドの準同型写像となる (群の場合は同型写像となるが, モノイドの場合は同型になるとは限らない).
$m^{\mathrm{op}}$ の定義により, 任意の $x, y \in M$ に対して
\begin{equation*}
x^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} y^{\mathrm{op}} = y \cdot x
\end{equation*} が成り立つ.
$i$ は $M$ の 2 つの元の積 $x \cdot y \,(x, y \in M)$ を $M^{\mathrm{op}}$ における積に
\begin{equation*}
i(x \cdot y) = x^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} y^{\mathrm{op}} = y \cdot x
\end{equation*} と移す.
したがって群の場合と同じく, $M$ と $M^{\,\mathrm{op}}$ は台集合は同じだが積 " $\cdot$ " と " $\cdot^{\mathrm{op}}$ " が異なるために一般に同じモノイドにはならない.
■ モノイド $M$ と逆圏としてのモノイド $M^{\mathrm{op}}$ が準同型ではあるが同型にはならない例:
実数体 $\mathbb{R}$ 上の $2 \times 2$ 行列全体のなす環 $M_2(\mathbb{R})$ を考える.
単位行列と零行列を
\begin{equation*}
1 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}, \quad
0 = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
と表わす.
$c$ を 0 でない実数とし, 元 $a, b \in M_2(\mathbb{R})$ を
\begin{equation*}
a = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}, \quad
b = \begin{bmatrix}
0 & c \\
0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{equation*} と定義する. $a, b$ に関して
\begin{align*}
a^2 &= a, \\
b^2 &= 0, \\
a \cdot b &= b, \\
b \cdot a &= 0
\end{align*} が成り立つ.
$M$ を $0, 1, a, b$ が生成するモノイドとする. 上記の $a, b$ の関係により,
\begin{equation*}
M = \left\{\, 0,\, 1,\, a,\, b \,\right\}
\end{equation*} となる.
$h : M \to M^{\mathrm{op}}$ をモノイド $M$ から逆圏としてのモノイド $M^{\mathrm{op}}$ への任意のモノイドの準同型写像とする.
このとき, $h$ は同型写像にはなり得ない.
証明は $h$ が $M$ の各元を $M^{\mathrm{op}}$ のどの元に移すのかを調べていくことにより行える.
$h$ はモノイドの準同型だから
\begin{equation*}
h(1) = 1
\end{equation*} を満たす. これ以外の $M$ の元 $0, a, b$ と $M^{\mathrm{op}}$ の元との対応が上記の $a, b$ の関係により全射にならないことがわかる.
よって同型写像ではない.
同時に $h$ の値を定めていく過程で $h$ が $M$ から $M^{\mathrm{op}}$ への同型でない準同型になることもわかる.
次の練習問題を解き終えた (全体の見直しはまだ).
($a$) 任意の単一の群はそれ自体圏と見做せる. 圏としての群の逆圏は何かを説明せよ. この圏が元の圏としての群と同型になること, および同型ではあるが, 同一となるとは限らないことを示せ.
($b$) 上の ($a$) と同様のことをモノイド (結合律を満たす 2 項演算と単位元を持つ集合 = 単位元を持つ半群) に対して行え. その際, 逆圏としてのモノイドが元のモノイドと必ずしも同型にならないことを示せ.
($c$) 上の ($b$) と同様のことを半順序集合に対して行え.
($b$) 群と同様, 任意のモノイドは圏と考えることができる.
$M$ を任意のモノイドとする. $M$ は単位元 '$e$' を持ち, $M$ 上の積 '$・$' は結合律を満たす.
モノイド $M$ を圏として構成する.
対象の集合 $O$ を 1 個だけの元 ('$\bullet$' により表わす) からなる集合として,
\begin{equation*}
O = \left\{\, \bullet \,\right\}
\end{equation*} と定義する.
射の集合 $A$ をモノイド $M$ 自身により
\begin{equation*}
A = M
\end{equation*} と定義する.
$A = M$ の各元 $x$ を, 対象 $\bullet \in O$ からそれ自身への射と考えて
\begin{equation*}
x : \bullet \longrightarrow \bullet
\end{equation*} と記す.
関数 $d^0, d^1 : A \to O$, $u : O \to A$, $m : P = A \times A = M \times M \to A$ を次のように定義する.
・ $d^0, d^1 : A \to O$ は各 $(x : \bullet \to \bullet) \in A$ に対してソース $\bullet$ とターゲット $\bullet$ を対応させる関数.
\begin{equation*}
d^0(x) = \bullet, \quad d^1(x) = \bullet \quad (x \in A).
\end{equation*}
・ $u : O \to A$ は唯一の対象 $\bullet$ に対してモノイド $M$ の単位元 $e$ を対応させる関数.
\begin{equation*}
u(\bullet) = (e : \bullet \to \bullet) = e.
\end{equation*}
・ $m : P \to A$ は各 $(x, y) \in P$ に対して
\begin{equation*}
m(x, y) = xy = x \cdot y
\end{equation*} により定義される関数.
モノイド $M$ を 6 つ組
\begin{equation*}
M = (A, O, d^0, d^1, u, m)
\end{equation*} と表わす.
このとき $M$ がモノイドであることから以下のような図式の可換性が成立する.
(i) $M$ が単位元を持つこと (これにより空集合 $\varnothing$ はモノイドになり得ない. 群の場合と同じ) を示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{d^0} & O \ar[l]_{u} \ar[d]^{\mathrm{id}_{O}} \ar[r]^{u} & A \ar[dl]^{d^1} \\
~ & O & ~
}
\end{equation*}
(ii) $M$ 上の積が $M$ に関して閉じていることを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_2} & A \ar[d]^{d^0} & P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_1} & A \ar[d]^{d^1} \\
A \ar[r]_{d^0} & O & A \ar[r]_{d^1} & O
}
\end{equation*} ここで $p_1, p_2 : P \to A$ は座標射影で $p_1(x, y) = x,\, p_2(x, y) = y$ により定義される.
(iii) 任意の $x \in M$ に対して単位元 $e$ が $x \cdot e = x = e \cdot x$ を満たすことを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{\mathrm{id}_{A}} & P \ar[l]_{(\mathrm{id}_{A}, u \circ d^0)} \ar[d]^m \ar[r]^{(d^1 \circ u, \mathrm{id}_{A})} & A \ar[dl]^{\mathrm{id}_{A}} \\
~ & A &
}
\end{equation*}
(iv) $M$ 上の積が結合律を満たすことを示す図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
Q \ar[d]_{m \times \mathrm{id}_{A}} \ar[r]^{\mathrm{id}_{A} \times m} & P \ar[d]^m \\
P \ar[r]_m & A
}
\end{equation*} ここで $Q = A \times A \times A = M \times M \times M$ である.
これによりモノイド $M$ を圏と見做すことができる.
モノイド $M$ を圏と見做したとき, その逆圏 $M^{\mathrm{op}}$ もモノイドになることがわかる.
モノイド $M^{\mathrm{op}}$ の各元を, $x \in M$ に対して $x^{\mathrm{op}}$ と記すことにする.
$M^{\mathrm{op}}$ は 6 つ組
\begin{equation*}
M^{\mathrm{op}} = (A^{\mathrm{op}}, O^{\mathrm{op}}, d^{0,\mathrm{op}}, d^{1,\mathrm{op}}, u^{\mathrm{op}}, m^{\mathrm{op}})
\end{equation*}
として定義する. 個々の構成要素は次のように定められる.
・ 対象の集合 $O^{\mathrm{op}} = \mathrm{Ob}(M^{\mathrm{op}}) = O = \left\{\, \bullet \,\right\}$: 単一の元のみからなる集合.
・ 射の集合 $A^{\mathrm{op}} = \mathrm{Ar}(M^{\mathrm{op}}) = M^{\mathrm{op}}$: モノイド $M$ の台集合の上に積 "$\cdot^{\mathrm{op}}$" を入れて定まるモノイド (後述: $x \cdot^{\mathrm{op}} y = y \cdot x$ により定義される).
・ $d^{0,\mathrm{op}}, d^{1,\mathrm{op}} : A^{\mathrm{op}} \to O^{\mathrm{op}}$ は各 $(x : \bullet \to \bullet) = x \in \mathrm{Ar}(M^{\mathrm{op}}) = M^{\mathrm{op}}$ に対して唯一の対象 $\bullet$ を対応させる関数.
・ $u^{\mathrm{op}} : O^{\mathrm{op}} \to A^{\mathrm{op}}$ は $\bullet \in O^{\mathrm{op}}$ に対して $M^{\mathrm{op}}$ の単位元
\begin{equation*}
u^{\mathrm{op}}(\bullet) = (e^{\mathrm{op}} : \bullet \to \bullet) = e^{\mathrm{op}}
\end{equation*} を対応させる関数.
・ $m^{\mathrm{op}} : P^{\mathrm{op}} = M^{\mathrm{op}} \times M^{\mathrm{op}} \to M^{\mathrm{op}}$ は各 $(x^{\mathrm{op}}, y^{\mathrm{op}}) \in P^{\mathrm{op}}$ に対して
\begin{equation*}
m^{\mathrm{op}}(x^{\mathrm{op}}, y^{\mathrm{op}}) = x^{\mathrm{op}}y^{\mathrm{op}} = x^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} y^{\mathrm{op}} = y \cdot x
\end{equation*} により定義される関数.
モノイド $M$ と逆圏としてのモノイド $M^{\mathrm{op}}$ の違いは群の場合と同様に積の構造にある.
関数 $i : M \to M^{\mathrm{op}}$ を
\begin{equation*}
i(x) = x^{\mathrm{op}} \quad (x \in M)
\end{equation*} と定義すると, これはモノイドの準同型写像となる (群の場合は同型写像となるが, モノイドの場合は同型になるとは限らない).
$m^{\mathrm{op}}$ の定義により, 任意の $x, y \in M$ に対して
\begin{equation*}
x^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} y^{\mathrm{op}} = y \cdot x
\end{equation*} が成り立つ.
$i$ は $M$ の 2 つの元の積 $x \cdot y \,(x, y \in M)$ を $M^{\mathrm{op}}$ における積に
\begin{equation*}
i(x \cdot y) = x^{\mathrm{op}} \cdot^{\mathrm{op}} y^{\mathrm{op}} = y \cdot x
\end{equation*} と移す.
したがって群の場合と同じく, $M$ と $M^{\,\mathrm{op}}$ は台集合は同じだが積 " $\cdot$ " と " $\cdot^{\mathrm{op}}$ " が異なるために一般に同じモノイドにはならない.
■ モノイド $M$ と逆圏としてのモノイド $M^{\mathrm{op}}$ が準同型ではあるが同型にはならない例:
実数体 $\mathbb{R}$ 上の $2 \times 2$ 行列全体のなす環 $M_2(\mathbb{R})$ を考える.
単位行列と零行列を
\begin{equation*}
1 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}, \quad
0 = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
と表わす.
$c$ を 0 でない実数とし, 元 $a, b \in M_2(\mathbb{R})$ を
\begin{equation*}
a = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}, \quad
b = \begin{bmatrix}
0 & c \\
0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{equation*} と定義する. $a, b$ に関して
\begin{align*}
a^2 &= a, \\
b^2 &= 0, \\
a \cdot b &= b, \\
b \cdot a &= 0
\end{align*} が成り立つ.
$M$ を $0, 1, a, b$ が生成するモノイドとする. 上記の $a, b$ の関係により,
\begin{equation*}
M = \left\{\, 0,\, 1,\, a,\, b \,\right\}
\end{equation*} となる.
$h : M \to M^{\mathrm{op}}$ をモノイド $M$ から逆圏としてのモノイド $M^{\mathrm{op}}$ への任意のモノイドの準同型写像とする.
このとき, $h$ は同型写像にはなり得ない.
証明は $h$ が $M$ の各元を $M^{\mathrm{op}}$ のどの元に移すのかを調べていくことにより行える.
$h$ はモノイドの準同型だから
\begin{equation*}
h(1) = 1
\end{equation*} を満たす. これ以外の $M$ の元 $0, a, b$ と $M^{\mathrm{op}}$ の元との対応が上記の $a, b$ の関係により全射にならないことがわかる.
よって同型写像ではない.
同時に $h$ の値を定めていく過程で $h$ が $M$ から $M^{\mathrm{op}}$ への同型でない準同型になることもわかる.
体調が少し上向く
午前 2 時起床.
今朝は昨日に比べると若干体調は良い.
数学をやってプールに行き, 午後はチラシ配りをした.
暑い中のチラシ配りは予想以上にきついので, 日陰をゆっくり歩きながらやった.
一日を一生懸命に生活した感じが多少ある. 嬉しい.
無気力な状態から脱したわけではないが, 何とかこれだけのことをできたのは良いことだ.
自分は駄目だとか, 能無しだとか, 時折苦しい言葉が頭の中に浮かぶが頓服で抑えた.
夕食は肉野菜炒めと納豆と卵かけご飯.
今朝は昨日に比べると若干体調は良い.
数学をやってプールに行き, 午後はチラシ配りをした.
暑い中のチラシ配りは予想以上にきついので, 日陰をゆっくり歩きながらやった.
一日を一生懸命に生活した感じが多少ある. 嬉しい.
無気力な状態から脱したわけではないが, 何とかこれだけのことをできたのは良いことだ.
自分は駄目だとか, 能無しだとか, 時折苦しい言葉が頭の中に浮かぶが頓服で抑えた.
夕食は肉野菜炒めと納豆と卵かけご飯.
2017年08月28日
無気力状態なのが苦しい
2 時起床.
数学をやってプールで泳いで macOS の使い勝手をいろいろ調整した.
書き連らねるといろいろとやっているのだが, 正直なところやったという喜びが無い.
やる気の無い人間が惰性でこなしているような感覚しかない.
何をやるのも面倒でなかなか始められなかったのを踏ん張ってやったのに駄目だった.
ノートを見返してみると, 数学のノートの記述も何か表面をなぞっただけの浅いものに見える.
よく外出してプールで泳ぐところまでできたと思う.
macOS はいろいろいじったが結局データのバックアップを中途半端にとっただけだ.
バックアップは大切だが, 何かいい加減な感じ.
疲れているのだろうか. 体がだるい.
延々と無気力.
困った.
数学をやってプールで泳いで macOS の使い勝手をいろいろ調整した.
書き連らねるといろいろとやっているのだが, 正直なところやったという喜びが無い.
やる気の無い人間が惰性でこなしているような感覚しかない.
何をやるのも面倒でなかなか始められなかったのを踏ん張ってやったのに駄目だった.
ノートを見返してみると, 数学のノートの記述も何か表面をなぞっただけの浅いものに見える.
よく外出してプールで泳ぐところまでできたと思う.
macOS はいろいろいじったが結局データのバックアップを中途半端にとっただけだ.
バックアップは大切だが, 何かいい加減な感じ.
疲れているのだろうか. 体がだるい.
延々と無気力.
困った.
2017年08月27日
体調: 最近の低調さについて
このところ, 毎日どこかで ── 主に夕方から夜にかけてのような気もするが ── 気分が沈んでいる.
少し大袈裟に言えば, 何かをやっても砂を噛むような感じしかしない.
どこか疲れている.
何でだろうと思って自分なりに考えてみた.
・ 先週までのお盆休みが過ぎて社会がまた活発に動き出し, そのスピードに自分が付いていけない.
・ それと共に自分もデイケアやクリニックや作業療法に毎日のように出かけて人と接する機会が増えた.
・ 理由は自分の体調が上向いてきたことによる. デイケアに積極的に参加する. 作業療法で絵を描きに行くのを週一回から二回にした. 診察を受けに行くタイミングが重なった.
・ 生活のリズムができて朝早くに起きられることで, 朝から全力を振り絞っている.
・ チラシ配りも暑い中, 毎日のように出かけている.
これがこの 1, 2 週間ほどの自分の行動である.
どうしてこんなに外に出るようになってしまったのか.
いきなりこんな風に社会との接点を増やしたら疲れるに決まっている.
知らないうちに相当な無理をしている.
以前, 夏休み前から夏休み後にかけてのスケジュールを立てようとして駄目だったことがあった.
あの時点で自分自身のスケジュールがまったくわからなくなってしまった.
それにより混乱が引き起こされて, このようにやみくもに外に出る毎日を過ごすようになってしまったのかも知れない.
さらに良くないのは, いつの間にか人と触れ合う機会を増やさなければならないというおかしな義務感が心の中に芽生えている.
恐ろしい.
この義務感に従い続けていたらまた寝た切りになってしまう.
良くない.
一人でひきこもる時間を増やしたほうがいい.
少し大袈裟に言えば, 何かをやっても砂を噛むような感じしかしない.
どこか疲れている.
何でだろうと思って自分なりに考えてみた.
・ 先週までのお盆休みが過ぎて社会がまた活発に動き出し, そのスピードに自分が付いていけない.
・ それと共に自分もデイケアやクリニックや作業療法に毎日のように出かけて人と接する機会が増えた.
・ 理由は自分の体調が上向いてきたことによる. デイケアに積極的に参加する. 作業療法で絵を描きに行くのを週一回から二回にした. 診察を受けに行くタイミングが重なった.
・ 生活のリズムができて朝早くに起きられることで, 朝から全力を振り絞っている.
・ チラシ配りも暑い中, 毎日のように出かけている.
これがこの 1, 2 週間ほどの自分の行動である.
どうしてこんなに外に出るようになってしまったのか.
いきなりこんな風に社会との接点を増やしたら疲れるに決まっている.
知らないうちに相当な無理をしている.
以前, 夏休み前から夏休み後にかけてのスケジュールを立てようとして駄目だったことがあった.
あの時点で自分自身のスケジュールがまったくわからなくなってしまった.
それにより混乱が引き起こされて, このようにやみくもに外に出る毎日を過ごすようになってしまったのかも知れない.
さらに良くないのは, いつの間にか人と触れ合う機会を増やさなければならないというおかしな義務感が心の中に芽生えている.
恐ろしい.
この義務感に従い続けていたらまた寝た切りになってしまう.
良くない.
一人でひきこもる時間を増やしたほうがいい.
2017年08月26日
体調不要で午前中寝込む 〜 チラシ配り
午前 2 時起床.
数学をやる.
何だか頭の中がモヤモヤして緻密に考えることが難しい. それでも少しだけ進んだ.
抑鬱感が強くなってきて頓服を飲む.
このところ, 鬱になることが多い. また波が来ているのかも知れない.
眠くなって寝てしまう.
午後からチラシ配りに出る.
今日も暑い. 喉が渇いて水筒の水をすぐに飲んでしまってコンビニで水やお茶を買ってしまう.
配るペースも遅くなる.
帰宅してシャワーを浴びて夕食をとる.
豚肉の生姜焼き, 刻みキャベツ, 納豆とご飯.
数学をやる.
何だか頭の中がモヤモヤして緻密に考えることが難しい. それでも少しだけ進んだ.
抑鬱感が強くなってきて頓服を飲む.
このところ, 鬱になることが多い. また波が来ているのかも知れない.
眠くなって寝てしまう.
午後からチラシ配りに出る.
今日も暑い. 喉が渇いて水筒の水をすぐに飲んでしまってコンビニで水やお茶を買ってしまう.
配るペースも遅くなる.
帰宅してシャワーを浴びて夕食をとる.
豚肉の生姜焼き, 刻みキャベツ, 納豆とご飯.
2017年08月25日
体調が下降気味 〜 午後からデイケアに行く
午前 2 時起床.
数学をやる. このところずっと半順序集合 (poset) を圏と見做したときにその逆圏がどうなるかという問題に取り組んでいる.
同じところを堂々巡りしている.
体調があまり良くないときはいつもこんな感じなのだ.
論理的に考えることが難しく, なかなか進まない.
昼食は乾麺の蕎麦を茹でてもり蕎麦にする.
デイケアに参加する. 話し合いのプログラム.
抑鬱感が強くなってきたので, 話し合いが終わってすぐに帰途につく.
自責の念が強くて苦しい.
自分がこれまでどれほど多くの人たちに迷惑をかけてきたのか. 多くの人たちの大切な時間を無駄に遣わせてどうやって償うつもりだ, といういつもの自分を攻撃する重いが浮かび上がってくる.
苦しい. 助けて欲しい.
帰宅して寝込む.
数学をやる. このところずっと半順序集合 (poset) を圏と見做したときにその逆圏がどうなるかという問題に取り組んでいる.
同じところを堂々巡りしている.
体調があまり良くないときはいつもこんな感じなのだ.
論理的に考えることが難しく, なかなか進まない.
昼食は乾麺の蕎麦を茹でてもり蕎麦にする.
デイケアに参加する. 話し合いのプログラム.
抑鬱感が強くなってきたので, 話し合いが終わってすぐに帰途につく.
自責の念が強くて苦しい.
自分がこれまでどれほど多くの人たちに迷惑をかけてきたのか. 多くの人たちの大切な時間を無駄に遣わせてどうやって償うつもりだ, といういつもの自分を攻撃する重いが浮かび上がってくる.
苦しい. 助けて欲しい.
帰宅して寝込む.
2017年08月24日
午前中寝込む 〜 チラシ配り
午前 2 時起床. やや抑鬱感がある.
数学をやり始めたが, 鬱が苦しくてなかなか考えることができない.
頓服を飲んだら眠くなって寝てしまった.
昼過ぎまで眠る. ずいぶん眠ったが気分が回復していない.
頭と体が重い.
踏ん張って起きてチラシ配りに出た.
気分転換になると思ったのだが, 外出してみたらそれ以前に非常に暑い. 息をする都度に熱風が肺の中に入ってくるようだ.
1 時間半ほどやったが頭が朦朧としてきた. 良くない.
帰宅して休む.
夜になってようやく気分が上向いてきたが, 疲労感が抜けない.
肉体的精神的に無理をしてチラシ配りに出たのが駄目だったようだ.
夕食は一昨日のトマトシチューの残りをスープパスタにして食べる.
数学をやり始めたが, 鬱が苦しくてなかなか考えることができない.
頓服を飲んだら眠くなって寝てしまった.
昼過ぎまで眠る. ずいぶん眠ったが気分が回復していない.
頭と体が重い.
踏ん張って起きてチラシ配りに出た.
気分転換になると思ったのだが, 外出してみたらそれ以前に非常に暑い. 息をする都度に熱風が肺の中に入ってくるようだ.
1 時間半ほどやったが頭が朦朧としてきた. 良くない.
帰宅して休む.
夜になってようやく気分が上向いてきたが, 疲労感が抜けない.
肉体的精神的に無理をしてチラシ配りに出たのが駄目だったようだ.
夕食は一昨日のトマトシチューの残りをスープパスタにして食べる.
2017年08月23日
診察とデイケア 〜 夕方から体調を崩す
午前 3 時起床.
数学をやる.
どうもこの数日間, きちんと考えられていないような気がする.
ノートを見返すが今一つすっきりとしない. 自分で自分のやっていることが理解できていない感じ.
どこがモヤモヤしているのか整理してみる.
9 時過ぎに家を出てクリニックに向かう.
診察を受けて薬を出してもらうのと, デイケアのプログラムに参加するのと 2 つ.
今日のデイケアでは, 相手に配慮して話すことをテーマにして話し合った.
自分は対面しての会話でも電話やメール, SNS での会話でも相手に配慮することが非常に下手だ.
みんなはどう思っているんだろうか.
興味を持って話し合いに参加したのだが, 誰もが相手への配慮を含む, コミュニケーション全般に難しさを感じていることがわかった.
敬語の使い方が難しい.
自分だけでうじうじ考えてしまう.
ネットでの会話も情報量が多過ぎて疲れる. これは自分もまったく同じ.
デイケアの後, 診察を受けて薬を出してもらった.
前回の診察を受けたときに, 抗不安薬としてジプレキサを出してもらったのだが今回も出してもらった.
寝付きがとても良くなったのはこの薬が効いたためだと思う.
帰宅途中から抑鬱感が強くなってきた.
人混みの中にいるのが苦しい.
自分が駄目だという意識・罪悪感が強い. 辛い.
帰宅してシャワーを浴びて寝込む. 食事は無理.
数学をやる.
どうもこの数日間, きちんと考えられていないような気がする.
ノートを見返すが今一つすっきりとしない. 自分で自分のやっていることが理解できていない感じ.
どこがモヤモヤしているのか整理してみる.
9 時過ぎに家を出てクリニックに向かう.
診察を受けて薬を出してもらうのと, デイケアのプログラムに参加するのと 2 つ.
今日のデイケアでは, 相手に配慮して話すことをテーマにして話し合った.
自分は対面しての会話でも電話やメール, SNS での会話でも相手に配慮することが非常に下手だ.
みんなはどう思っているんだろうか.
興味を持って話し合いに参加したのだが, 誰もが相手への配慮を含む, コミュニケーション全般に難しさを感じていることがわかった.
敬語の使い方が難しい.
自分だけでうじうじ考えてしまう.
ネットでの会話も情報量が多過ぎて疲れる. これは自分もまったく同じ.
デイケアの後, 診察を受けて薬を出してもらった.
前回の診察を受けたときに, 抗不安薬としてジプレキサを出してもらったのだが今回も出してもらった.
寝付きがとても良くなったのはこの薬が効いたためだと思う.
帰宅途中から抑鬱感が強くなってきた.
人混みの中にいるのが苦しい.
自分が駄目だという意識・罪悪感が強い. 辛い.
帰宅してシャワーを浴びて寝込む. 食事は無理.
