2026
2025
2024
2023
2022
2021
2020
2019
2018
2017
2016
2015
2014
2013
2005年07月の記事
全48件 (48件中 1-48件目)
1
-
数の動きって？ その４２
☆親戚が来たり、先輩の家に行ったりで、１日がたちまち過ぎてしまいました。塾のこどもたちも、ご両親の実家に行く子がいたり、旅行にいく子がいたりで、スケジュールが変則的です。スケジュールを立てるのも、１対１対応の問題なのですが、体が２つほしいところです(-_-;)■数の動きって？ その４２［前回の問題の解説と答え］［１］と同じ規則で・・・とあるので、［１］をよーく見てみましょう。たても横もななめも、ドレを取ってもみーんな１５になっています。１～９までの数の和は、４５各列（各行）とも和が同じなので４５÷３＝１５各列（各行）とも、和は１５になります(^.^)もうふたつ、ウルトラ大切なことがあります。これを見落とすと、ゴールまでの道のりは果てしなく遠くなります。何でしょう？ひとつめは ま ん な かど真ん中の数が、５この５は１～９までの数の平均です。この５が真ん中に入っています。［２］の真ん中の数と比べてみましょう。［２］は、１～25の整数で、その和は２５×２６÷２＝３２５平均を求めると、３２５÷５＝６５そして、真ん中の数は１～25の整数の平均の数、つまり１３です。［１］の真ん中の数が ５［２］の真ん中の数が １３ふたつめにいきます(^.^)［１］で、５を中心に、点対象の位置にある数を足してみると・・・あたりまえですが・・・１０になります。５と１０で平均の１５！（ア）＋５＋（イ）で、 （ア）＋（イ）＝１５ ［２］も同じことが起こるはず！１３を中心に、世界は回ります。（ア）＋（イ）＋１３＋（ウ）＋（エ）で、（ア）＋（イ）＋（ウ）＋（エ）＝６５－１３＝５２対象の位置にある１７と９をみると、和は２６５２と２６の関係は・・・半分になっている！！！（ア）＋（エ）＝２６（イ）＋（ウ）＝２６たとえば、対象の位置にある２３と３も和は２６！２０と６も和は２６になっています。これだけ分かれば、あとは簡単に答えまでたどり着けます。（１） Ａにあてはまる数を求めなさい。（ア）＋（エ）＝２６（イ）＋（ウ）＝２６の関係を使えば、１６＋Ａ＝２６よって、Ａ＝１０ が答えです(^.^)（２） 斜線部分にあてはまる数の和を求めなさい。まず、 ８ ■ ■ ■ １１となることは、ＯＫですか？２６－１５＝１１ ですね。この１１を出さないと、答えはなかなか出てきません(-_-;)したがって、■ ■ ■ ＝６５－（８＋１１）＝４６答えは４６です。☆近日中に、フリーページに、魔方陣の考え方を図入りで説明しますね。言葉だけでは、いまいちピンときませんので(^.^)つぎは、比の問題です。みなさんは、どんなイメージを浮かべて、こういう問題を解くのでしょうか？［宿題］Ａ国、Ｂ国、Ｃ国の人口の比は３０：２５：２で１平方キロメートル当たりの人口はそれぞれ二千人、一万人、五百人です。Ａ国、Ｂ国、Ｃ国の面積の比を最も簡単な整数の比で表すと、□：□：□です。渋谷教育学園渋谷中学校（つづく）
2005.07.31
コメント(1)
-
Ｒくん、剰余系を使う（１３）
☆東京は暑かった・・・きょうは、日記を書くのが遅くなりましたm(__)m実は、四国のわらし仙人が東京の渋谷でセミナーを開催しました。下記のベストセラーを書いている、あのわらし仙人です。そのセミナーに参加しました。・夢とお金が押し寄せるわらし仙人の「売れる自分」のつくり方・わらし仙人の３０倍速読術・普通の人が本を書いて怖いくらい儲かる秘術わらし仙人、チタン合金マンさん、セミナーをいっしょに受講したみなさん、どうもお世話様でした(^.^)こうして、二重の意味で暑い日になりました(^.^)セミナーの内容はもりだくさんでしたが、「ブーム」という言葉がとても印象に残りました。これから何がブームになるのか、そのブームを先取りして読む方法という話がありましたが、ブームこそ、これからの時代を生き抜くポイントであると思いました。そのために、これからの時代に身につけておくべきこととは？これは、うちの塾に来ている子たちに、早速話します(^.^)大人も同じです。Life-long Scale Education 『生涯教育』の時代です。自分磨きをしていかないと、あっという間に旧式な人間になるという時代です。このスピードは加速されていきます。今のこどもたちはそういう波をもろにかぶっていきます。マックはほぼ毎日、海岸を散歩しています。波が絶え間なく押し寄せてきます。その波を背に逃げようとすると、ときに溺れます。泳いでいて、１度溺れかかりました。引く波に吸い寄せられるのです。小学４年のときです。そのとき、死ぬかもしれない･･･と思いました。この様子に気づいた父が、浜辺の方から、「沖に逃げろ」と声をかけてくれました。波に逆らって岸に向かうから、波の引く力から逃げられなかったのです。それで、波の力に身を任せ、沖に出ました。すると、体が急に軽くなり、再び泳げるようになったのです。父の姿が、すぐそこに見えました。あのまま波の力に逆らっていたら、溺れていたと思います。人生という波も、逆らっていると溺れれます。そういう大波が２年くらいでやってくる・・・きょうのセミナーでの最大の収穫でした(^.^)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（１３） □□□□［前回の宿題］整数ＡをＡのそれぞれの位の数の和で割り、余りを［Ａ］で表すことにします。たとえば、［１２３］については１２３を１＋２＋３の６で割ると余りは３なので、［１２３］＝３となります。また、［７］は、７を７で割ると割り切れるので、［７］＝０［［９８］］は、［９８］＝１３なので、［［９８］］＝［１３］＝１となります。（１） ［５８］、［［８６２］］をそれぞれ求めなさい。（２） Ａが２けたの整数のとき、［Ａ］が最も大きくなるような Ａを求めなさい。（３） ［［Ａ］］＝９となる整数Ａのうち、最も小さいものを求めなさい。 桐明中学校（１）剰余系で表せば、［５８］≡（ ） ｍｏｄ（５＋８）ということです。 ５８を１３で割れば、余りは６ 答え ６［［８６２］］は、２段階で、まず［８６２］≡（ ） ｍｏｄ（８＋６＋２）だから、８６２を１６で割ってあげましょう。すると、余りは１４［［８６２］］＝［１４］ ｍｏｄ（１＋４）１４を５で割れば、余りは４です。［［８６２］］＝［１４］≡４答え ４（２）問題文がとてもわかりにくいです。マックも、・・・正直に言います・・・一度目に読んだときには、何のこと？ という反応でした(^.^)［Ａ］が最も大きくなるような・・・という文章は、余りが最も大きくなるような・・・と通訳しないと、ピンときません。それで、余りが大きくなるって、割る数が大きいほど、理想的！このことに気がつかないと、前に進めません(-_-;)ここが、「飛躍」です。ところで、割る数が大きいって、どんなことなの？［Ａ］≡（ ） （ｍｏｄ 割る数 ）この割る数は、２けたの各位の和です。思いっきり大きく取ると、９９はどうでしょう。［９９］≡（ ） （ｍｏｄ９＋９） それで、９９を１８で割ってみると、余りは９［９９］≡９ （ｍｏｄ１８） なんか、小さいですね。余りが１７になれば、答えなのですが・・・・・９８はどうかな？［９８］≡（ ） （ｍｏｄ９＋８）［９８］≡１３ （ｍｏｄ１７）この逆の８９では？［８９］≡４ （ｍｏｄ１７）これは、ダメでした。１８，１７で割って、今のところ、最も大きい余りは１３。９７と７９で試してみましょう。［９７］≡１ （ｍｏｄ１６）［７９］≡１５ （ｍｏｄ１６）おや！新記録更新です！最も大きい余りは１５になりました。そして、この記録をぬくことは、もうできません。割る数が１６、余りが１５この先、１６よりも小さい数で割っても、余りはかならず１５より小さくなります。答え ７９（３） （２）に比べれば、ましな問題です。［［Ａ］］＝９剰余系で表せば、［［Ａ］］≡９ （ｍｏｄ Ａの各位の和）こんな形なら、理想的です。［［Ａ］］≡９ （ｍｏｄ１０）ということは、［［Ａ］］≡９ （ｍｏｄ１＋９）［［Ａ］］≡９ （ｍｏｄ２＋８） ・・・最も小さいＡを見つけるためには、［［Ａ］］≡９ （ｍｏｄ１＋９）が使えると、いいですね(^.^)では、［Ａ］≡１９とおいてしまいましょう。これを何で割ればいいのかというと、［Ａ］≡１９ （ｍｏｄ Ａの各位の和）割る数が２０なら理想的だけれど、［Ａ］≡１９ （ｍｏｄ ２０）「２０で割って余りが１９になる数Ａって？」Ｂ＝Ａ－１９ としたら、「２０で割って余りが０になる数Ｂって？」ということと、同じですね。 もうひとつ、Ａは （ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）＝２０ になり、 （ イ ）は奇数 （ ウ ）は９になる！ ということです。だから、（ ア ）＋（ イ ）＝１１ 候補は、８と３，６と５，４と７，２と９ しかありません。このうち、最も小さくなるのは、２と９アが２ 、イが９、ウも９ という組みあわせが答えです。 答え ２９９お疲れ様でした。つぎは、やさしめの問題です。［宿題］３８を割っても、５４を割っても６余る整数をすべて求めなさい。 明治大学付属中野中学校（つづく）
2005.07.30
コメント(1)
-
数の動きって？ その４１
☆魔方陣というと、おどろおどろしい魔の数の世界？のようです。でも、秩序だって数を並べていけば、魔方陣が、だれにでもすぐにできてしまいます(^.^)なんといっても、３×３の魔方陣が基本です。この魔方陣、知っておくべき性質が３つあります。それはいつかまた、取り上げることにして、次の問題に挑戦してみてください。■数の動きって？ その４１［問題］［１］と同じ規則で、［２］についても１～25の整数を並べます。このとき、次の各問いに答えなさい。（１） Ａにあてはまる数を求めなさい。（２） 斜線部分にあてはまる数の和を求めなさい。 栄東中学校（つづく）
2005.07.29
コメント(0)
-
こどもたちの頭の回転が速くなる？！
☆娘たちが七田に通っていたことは、以前にも日記に書いたことがあります。２年近く前なので、他の日記の中に埋もれてしまったので、再度、書いてみました。◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆七田教室に関心のある親御さんというと、教育パパ、教育ママという印象があります。そういうマックも、娘たちを受験勉強で苦労させたくないと思い、七田教室に通わせました。しかし、うちの娘たちは小学生になってから入れたので、七田の常識からすると遅かったかもしれません。さて、私は下の娘を土曜日に連れていく係りでした。娘のクラスでこどもたちといっしょになって瞑想したり、イメージ記憶など、ちゃっかりと参加していました(^.^)そのため、ほかのお子さんのこともいろいろと観察できました。うちの娘たちはというと、まず下の娘ですが、映像記憶ができるようになりました。頭に描かれた国語の教科書を読み上げるということをしていました。目を閉じると、教科書が見えてきたそうです。知能テストも、家で七田の児童用教材に毎日取り組み、３ヶ月で１３０以上になってしまいました。しかし、これは訓練したという事を割り引かないといけないのかもしれません。上の娘は、速読ができるようになりました。しかし、世間でいう速さはなく、１冊の文庫本を３時間で読めるレベルです。上の娘で顕著なのが、学校の成績です。小学生のときは、そこそこできる方でしたが、中学校になると学年でトップを取ったりしていました。（公立中学校です。）これが、七田とどういう関係にあるのか、それはわかりません。統計的にも、成績や学力と七田教育の関連性のデータや資料は見たことがありません。七田先生の本には数多くの事例が載っていますが・・・。実際、うちの娘たちも小さくなるというイメージで人間の体に入り、その人の病気で悪いところが赤くなっている、そこに緑の薬を塗ってきたよ、などと言っていました。それで風邪や腹痛が治るときもありました。しかし、因果関係や、科学の世界からすれば、受け入れられない事象です。百歩譲っても、催眠効果ということになるのでしょう。しかし、本来人間が有する能力のひとつの表れではないかとも思います。動物たちが地震の際に見せる行動は、地磁気の変化を知覚できる能力を彼らが持っているからと説明されます。そして、人間にもそのような力があるけれど、文明が発達すると道具がその感覚器官の代わりに働くので、ほとんどの人間にとって、超能力は不要なものになったという説明もあります。アボリジニたちが数キロメートル離れていても、意思を伝え合うことができるという能力は、遠い昔の人間たち誰でもが持っていたのかもしれません。そういう能力を訓練で引き出すのが、七田式の教育法と言えます。「こどもたちは天才！」というシーンを、私も何度か目撃しました。たとえば、３歳の男の子が、小学校のこどもたちを尻目に、百人一首や俳句、漢詩など、すらすらと暗唱しているのには圧倒されました。反面、家で取り組まないと効果がなかなか出てこないとも感じました。いっしょに通っていたこどもたちも、日常的に七田の教材に触れない子は能力が伸びないと感じていました。では、七田教育のメリットはというと、こどもたちの好奇心をそのまま伸ばしてくれるので、こどもたちはのびのびと能力を発達させるいい環境に身をおけるということです。いい意味で、刺激になります。フラッシュカードで四季の星座を覚え、高校生になった娘はその歌をいまだに歌うことがあります。ドイツ語もやりました。テープを流し、専ら聞くというレッスン。しかし、これは効果があったのか、疑問です。また、ドッツカードは、下の娘が得意でした。上の娘は、中学校に入ってから、英語が得意科目のひとつになりました。それとの因果関係は？ ただ、語学に抵抗を感じないということで、役立っているようです。下の娘は、幻想的な絵をたくさん描いてくれました。太陽の本当の色は緑色で、月は３つの色で光っているけれど、みんなそれに気づいていないというのです。写生するとき、木や植物のオーラが見えるので、絵が描きにくいとも言いました。その能力は音楽に向かい、バイオリンを弾くのが好きで、芸術肌のこどもに育ってきています。七田を卒業して、その後、成績が普通という子もたくさんいます。好奇心がどこにあるのかによって、こどもたちの表す能力は違います。学校教育の成績だけでは推し量れません。心が素直になる、愛情豊かな子になる・・・これらもご家庭次第という面が強いように思います。七田がどんなに良くても、家庭でそれ以上に取り組まなければ、効果は出ないと思います。私も、大量にフラッシュカードを作りました。親の作業が格段に増えます。しかし、興味をもってもらえなければ、振り向きもされません。それでも、親子の交流は相当にありました。親子で七田のゲームで遊んだのはとてもいい思い出になっています。七田に通い、家庭でも繰り返し取り組めば、こどもたちの頭の回転がよくなることは、ほぼ間違いありません。しかし、この頭が、学業に向くかどうかは別問題で、本当に成績を上げたければ、親が勉強をリードしていくという、普通の結論になってしまいます。七田とどう向き合うかで、高い授業料の効果が出て来る場合もあれば、お金をムダにすることもあるということだと思います。とりとめもなく書いてきましたが、娘たちが幼いころにタイムマシーンで戻ったとして、七田に通わせるかどうか・・・娘たちが才能を伸ばすチャンスを与えるという気持ちがある一方、家庭で取り組ませれば充分という気もします。うまく七田を使いこなせば、頭の回転の速いこどもになると思います。しかし、そこから先は、親が決める領域になります。どのようにこどもたちを伸ばしていくのか？ そこが一番むずかしいところです。が、七田に行けばなんとかなる、というのでは、もったいないと思います。なんともなりませんので(-_-;)参考になったでしょうか？ 実際、その後のこどもたちがどうなったのかは、七田では明かされません。追跡できないと思います。なかにはきっと、すばらしい子もでていると思います。反面、ほとんど効果なし！と地団駄を踏む親御さんもいると思います。私たち親がどうこどもたちを導こうとしているのか、それが試されるのが幼児期の教育です。そして、答えは、たくさんあると思います(^.^)
2005.07.28
コメント(2)
-
Ｒくん、剰余系を使う（１２）
☆「図形のエッセンス」をフリーページに掲載していきます。とりあえず、５本書きました。図形はイメージしやすい分野です。「これだけは、知っておいてほしい」という知識を中心に、時間をみて書いていきます。対象は、小学生から中学生までです。取り上げてほしいという希望などがあったら、掲示板、私書箱どちらでもかまいません。連絡してくださいね(^.^)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（１２） □□□□【エピソード１】６５４３ は ９ で割り切れる判定法があります。これは知っている！ という子が多い思います。実際に割ってみればいいのですが、それでは応用がききません。そのわけを、剰余系で見てみます。ちなみに、ふつう学校や塾などで説明する場合でも、考え方は剰余系そのものなんですよ(^.^)１０≡１ （ｍｏｄ９） （９を食べてしまいましょう）１００≡１ （ｍｏｄ９） （９９を食べてしまいましょう）１０００≡１ （ｍｏｄ９） （９９９を食べてしまいましょう）いつも、あまり１ですね。ところで、６５４３は、つぎのように表せます。６５４３＝６０００＋５００＋４０＋３４０≡４ （ｍｏｄ９） （左右の辺を４倍しましょう）５００≡５ （ｍｏｄ９） （左右の辺を５倍しましょう）６０００≡６ （ｍｏｄ９） （左右の辺を６倍しましょう）この性質を使います。６５４３≡６＋５＋４＋３ （ｍｏｄ９） ・・・☆☆さいごの仕上げは、６＋５＋４＋３＝１８ なので、６５４３≡１８≡０ （ｍｏｄ９）９で割り切れるのですが、大切なのは、☆☆の式です！わざわざ６５４３を割らなくてもいいのです。６＋５＋４＋３の和に注目して、これが９で割れるかどうかを調べれば済みます。たとえば、１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１は９で割り切れますか？という問題なら、直接割ったのでは時間がかかり過ぎです(^.^)この考え方は、「九去法」と呼ばれています。「ある数の各位の数の和が9の倍数になっていると，もとの数は9の倍数である」３の倍数も、同じような性質があります。５４３２１という数なら、ｍｏｄ３ で１００００≡１１０００≡１１００≡１１０≡１ｍｏｄ９ とまったく同じ結果になります。５００００≡５４０００≡４３００≡３２０≡２１≡１つまり、５４３２１＝（５００００＋４０００＋３００＋２０＋１） ≡（５＋４＋３＋２＋１） ≡１５ ≡０「ある数の各位の数の和が３の倍数になっていると，もとの数は３の倍数である」という結論が出てきます。［宿題］整数ＡをＡのそれぞれの位の数の和で割り、余りを［Ａ］で表すことにします。たとえば、［１２３］については１２３を１＋２＋３の６で割ると余りは３なので、［１２３］＝３となります。また、［７］は、７を７で割ると割り切れるので、［７］＝０［［９８］］は、［９８］＝１３なので、［［９８］］＝［１３］＝１となります。（１） ［５８］、［［８６２］］をそれぞれ求めなさい。（２） Ａが２けたの整数のとき、［Ａ］が最も大きくなるような Ａを求めなさい。（３） ［［Ａ］］＝９となる整数Ａのうち、最も小さいものを求めなさい。 桐明中学校※新しい世界の入口です。こんな世界もあるんだ、へぇー、それなら楽しんでやろう、こんなノリでいいのです。新しいルールが出てきても、あせってはいけません。ちゃんと、ルールが書かれているので、プールに入るときのように、慎重に一歩ずつ入っていきましょう(^.^)（つづく）
2005.07.28
コメント(0)
-
数の動きって？ その４０
☆きのうの宿題は、カットする部分にだけ注目すると、２本→４本→８本→・・・と２倍ずつに増えていきます。あとは、イマジネーションの世界ですね(^.^)■数の動きって？ その４０［問題１］では、ひもを２つに折って、またさらに２つに折って、折ったままの状態でその真ん中をカットすると、ひもは何本になりますか？［問題１の解説］ひもは、カットするまでは、１本でつながっている！このことを忘れると、あなたはラビリンスにまちがいなく、招待されます(^.^)２回折ったら、ひもは５本になります。答え ５本きたないですけれど、イメージ図をつくってみました。［問題２］では、ひもを２つに折って、またさらに２つに折って、もう１回２つに折って、と、３回折ってから、折ったままの状態でその真ん中をカットすると、ひもは何本になりますか？［問題２の解説］３回折ったら、９本になります。答え ９本［問題３］では、ひもを２つに折って、またさらに２つに折って、もう１回２つに折って、・・・と何回か折って、それから、折ったままの状態でその真ん中をカットしたら、ひもは３３本になりました。一体、何回折ったのでしょう？［問題３の解説］１回折ると、ひもを切るところでは２本になっています。そして、３本に分かれます。２回折ると、ひもを切るところでは４本になっています。そして、５本に分かれます。３回折ると、ひもを切るところでは８本になっています。そして、９本に分かれます。規則が見えてきました！数字だけ並べると（１，２，３） ２＋１＝３（２，４，５） ４＋１＝５（３，８，９） ８＋１＝９ ・ ・ ・（□，△，３３） △＋１＝３３△は３２ですね。（□，３２，３３）ひもを折るたびに、２倍になります。つまり、２，４，８，１６，３２となるので、５回折るということになります。答え ５回次回は、これもパズルのような問題ですが、実際の中学入試問題からピックアップしてみました。どんな問題かというと・・・魔方陣です(^.^)（つづく）
2005.07.27
コメント(1)
-
Ｒくん、剰余系を使う（１１）
☆剰余系は、数の世界をあまりという新しい秩序で組み替えるというお話です。世界をどう見るか、これは算数や数学の世界だけではありません。２元論の世界があります。善か悪か陽か陰か自然か文明か田園か都市か進歩か現状維持か国語の問題も、ほとんどが２元論の世界です。この問題は、何を言おうとしているのか？問題を解くとき、２元論を思い出してください。筆者はどちらの立場？ このことを見つけ出せば、論点が明らかになります。そして、筆者の論理が展開されていきます。それは、筆者の世界です。この世界の論理を読み取ることができるかどうかです。世界をどう見るか？ 算数や数学でも、いろいろな世界があるということを知っておいてください。きみの目に見える常識の世界だけではありません。４次元、５次元・・・このような世界もあります。きょりだって、この世界に限定することはありません。別の世界に行けば、その世界だけのきょりの考え方が出てきます。こういう不思議が、まだまだたくさん出てくる・・・算数や数学を知ることは、いつか見るかもしれないその世界へ行く足がかりになります(^.^)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（１１） □□□□５×○＋３×△＝１１５ をあまりの形にして、□という記号を使ったら、○＝３×□＋２ △＝３５－５×□になった、というのが前回までのお話でした。＞つぎは、表をつくるよ。□ ○ △０ これは、□に０を入れたとき、ということ！すると、○＝３×０＋２＝２△＝３５－５×０＝３５□ ○ △０ ２ ３５ ＞つぎに、□に１を入れたとき、どうなる？○＝３×１＋２＝５△＝３５－５×１＝３０□ ○ △０ ２ ３５ １ ５ ３０＞□に２、３、４と入れていくと、それぞれどうなる？□ ○ △０ ２ ３５ １ ５ ３０２ ８ ２５３ １１ ２０４ １４ １５５ １７ １０６ ２０ ５７ ２３ ０「□が７のとき、△は０になる！」１個５円のりんごと１個３円のみかんを合わせて１１５円分買いました。どちらも最低１個は買うとして、りんごの数がみかんの数より多くなるようにする買い方は、何組ありますか？ （りんごの数，みかんの数）と表せば、（１７，１０）と（２０，５）の２組。 答えは２組になるね。さて次回は、剰余系のエピソード１に入っていきます(^.^)（つづく）
2005.07.27
コメント(1)
-
数の動きって？ その３９
☆マックが出た高校は、県立Ｓ高校です。一昔前まで、東大進学者数が県でトップの高校でした。現在は、私立高校の躍進で、東大に進む人の数は激減してしまいました。それでも、公立高校の中ではダントツです。マックが在学していた昔、非常識にできるのが何人もいました。県内全域から、すごい秀才が集まってきます。地元中学出身者と、彼らとの差は、かなり大きかったのです。今の子のように、予備校や塾に通っていたわけではありません。部活もおおいにやり、勉強は家庭でやっていたというスタイルが圧倒的でした。苦手科目を単科で受けさせてくれる塾がありました。少数精鋭で、完全に口コミでした。紹介がないと入塾できず、入ってからも懇切丁寧に教えてくれるわけではありません。プリントを渡されて、自力で解きます。できたら、講師のところに持っていき、またプリントを渡されます。この塾から、何人も東大に進学していきました。教えない塾、という不思議な塾でした。もちろん、個人的に弱点の解説はしてもらいましたが、基本は自力でやるということでした。マックは、半年間、この塾で英語を鍛えてもらいました。短い文を大量に覚えました。英文解釈は、大学生が使うテキストを使ったので、高校生の英語が簡単に思えるようになりました。もちろん、英文解釈も自分で進めました。なんどもなんども、英語と和訳を対比させ、なぜそうなるのかを頭に徹底的に入れました。とにかく、大学生用のテキストは難しすぎました。それでも、半年間、がまんしてくっついていったら、試験英語で点が取れるようになっていました(^.^)数学は、教わらなくても理解できたので、勝手に勉強していました。高校数学は２年生で終わってしまい、授業中は、トポロジーやら関数論の本を読んでいました。マックのまわりの生徒たちは、もっと進んでいるのが何人もいました。フランス語やドイツ語を勉強しているのもいましたから・・・。当時の数学の先生は、さぞかし教えにくかったと思います。マックなんてまだ可愛い方で、怪物のようにできるのが、ゾロゾロいたわけなので、質問もかわいくないのです。超難問を先生にぶつけて、先生が答えられないというシーンは日常的に起こりました。無理もありません。超秀才たちが集まって議論しても答えが出てこないレベルの問題ですから、いかに先生といえども、そんな簡単に答えは出てきません。ほとんど、入試のレベルを超えていたわけです。こんな生徒に対応しなければならない先生こそ、迷惑と、今になると思います。牧歌的な中学校時代と比べて、高校時代はまさに異次元の空間でした。中学校でトップレベルの成績を取っていたマックにとって、受難の日々でもあったのです。台風の日、時間がありましたので、昔話を少し書いてみました(^.^)■数の動きって？ その３９あなたとマックのイメージ力の勝負です(^.^)ひもを２つに折って、折ったままの状態でその真ん中をカットすると、───── ────┐───── ────┘３本になりますね。［問題１］では、ひもを２つに折って、またさらに２つに折って、折ったままの状態でその真ん中をカットすると、ひもは何本になりますか？これは、イメージ力で解けるかもしれません。［問題２］では、ひもを２つに折って、またさらに２つに折って、もう１回２つに折って、つまり、３回折ってから、折ったままの状態でその真ん中をカットすると、ひもは何本になりますか？これも、イメージ力で解けるかもしれません。 ［問題３］では、ひもを２つに折って、またさらに２つに折って、もう１回２つに折って、・・・と何回か折って、それから、折ったままの状態でその真ん中をカットしたら、ひもは３３本になりました。一体、何回折ったのでしょう？こうなってくると、規則を見つけてあげないとやってられません(^.^)手品のタネみたいな問題です。中学入試に出るかも？！答えは、次回に(^.^)（つづく）
2005.07.26
コメント(1)
-
Ｒくん、剰余系を使う（１０）
☆台風７号の影響で、雨が降ったり止んだりしています。海が近いので、潮騒が地の底から聞こえてきます。マックにとっては、この潮騒、子守唄のようなものですが。これから上陸するかもしれません。みなさん、お気をつけください。湘南地方が直撃されそうです(-_-;)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（１０） □□□□［きのうの宿題］５×○＋３×△＝１１５を、３で割ったあまりの形に直しなさい。＞Ｒくん、ノートを見せて。ノートは・・・きたない字だけれど、きちんとプロセスが書かれていました。５≡２ （ｍｏｄ３）（５×２）≡１０≡７≡４≡１ （ｍｏｄ３） あまりの４は３で割れて、あまり１になる。（５×○）≡２×○ （ｍｏｄ３） ３×△≡０ （ｍｏｄ３） ３×△は３の倍数だから、３で割れば割り切れる。１１５÷３＝３８ あまり １ だから、１１５≡１ （ｍｏｄ３） ５×○＋３×△＝１１５ の左右を３で割ったあまりの式は２×○≡１ （ｍｏｄ３） 苦心の作品です。＞Ｒくん、この式から、どんなことがわかる？「○の２倍を３で割ったら１あまる、ということ、だよね。」＞ＯＫ。それでは、２×○≡１ （ｍｏｄ３） の左右（両辺）を２倍してみて！「４×○≡２ （ｍｏｄ３） 。」＞４×○≡２ （ｍｏｄ３） の左にある４は、３をオーバーしているね。「あっ、そうだね。ということは、３で割れっていうこと？」＞そのとおり。左の式は、４×○≡（３＋１）×○≡ （３×○＋○）≡○ 「○≡２ （ｍｏｄ３） になったね！」＞○≡２ は、○を３で割ったら、２あまるということだから、これをふつうの式で表すと○＝３×□＋２ そして、□は何か、いまのところ分からない。これと ５×○＋３×△＝１１５ を合体するよ。 ○の箇所に、３×□＋２を入れて・・・５×（３×□＋２）＋３×△＝１１５＞かっこをはずそう。５×３×□＋５×２＋３×△＝１１５１５×□＋１０＋３×△＝１１５＞１５×□ を移項して、３×△＝１１５－１０－１５×□ ＝１０５－１５×□ ＞ぜんぶ、３の倍数になっているから、３で割るよ。△＝３５－５×□「マック先生、長いよね、この式。」＞確かに(-_-;)（つづく）
2005.07.26
コメント(1)
-
数の動きって？ その３８
☆ものすごい雨が、降ったりやんだりしています。ご近所の先輩のドクター宅におじゃましていました。帰るに帰れず、いまやっと、間隙をぬってダッシュで帰ってきました(^.^)「これじゃ、外に出られない！」と娘たちはがっかりしています。もうじき江の島の花火大会・・・毎年、花火大会の前後に雨が降ります。◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その３８［きのうの宿題］１より大きい整数は、次の規則にしたがって何回か操作すると、１になります。＜規則＞その数が偶数ならば、２で割る。その数が奇数ならば、１を引く。たとえば、１３は １３ → １２ → ６ → ３ → ２ → １と、５回の操作で１になります。（１） ４７は何回の操作で１になりますか。（２） ４回の操作で１になる数をすべて求め、 小さい順に答えなさい。（３） ８回の操作で１になる数のうち、偶数は 全部でいくつありますか。 穎明館中学校（１） ４７は何回の操作で１になりますか。４７ → ４６ → ２３ → ２２ → １１ → → １０ → ５ → ４ → ２ → １ 答え ９回です。（２） ４回の操作で１になる数をすべて求め、 小さい順に答えなさい。こういう問題、最初に実際の数で試してみます。試しているうちに、規則が見えてきます。最後は □ → ２ → １ しかありません。□には何が入るの？ 偶数か奇数です。偶数を「グ」奇数を「キ」とすると、グ → ２ → １ キ → ２ → １ もうひとつ、さかのぼるとグ → グ → ２ → １ キ → グ → ２ → １ グ → キ → ２ → １ キ → キ → ２ → １ ここで、あり得ないことが起きてしまいました。キ → キ ですね。規則から、 「奇数なら１を引く」ので、キ → グ はＯＫですが、キ → キ はＮＧです。レッドマーク！！！このように、キ → キ になるようなつながりはダメ。よって、グ → グ → ２ → １ キ → グ → ２ → １ グ → キ → ２ → １ さあ、続けましょう(^.^)また、さかのぼりますよ。グ → グ → グ → ２ → １ キ → グ → グ → ２ → １ グ → キ → グ → ２ → １ キ → キ → グ → ２ → １ ← ＮＧ グ → グ → キ → ２ → １ キ → グ → キ → ２ → １ 実際の数を入れてみます。グ → グ → グ → ２ → １ は１６ → ８ → ４ → ２ → １ キ → グ → グ → ２ → １ は９ → ８ → ４ → ２ → １ グ → キ → グ → ２ → １ は１０ → ５ → ４ → ２ → １ グ → グ → キ → ２ → １ は１２ → ６ → ３ → ２ → １ キ → グ → キ → ２ → １ は７ → ６ → ３ → ２ → １ 答え ７，９，１０，１２，１６（３） ８回の操作で１になる数のうち、偶数は 全部でいくつありますか。小学生は、数え出ししかありません。といっても、実際のところ、塾ではコンビネーションのＣは教えています。Ｃを出さないまでも、やり方は教えています。トランプを使ってやると、わかりやすいのです。最後の ２ → １ と 矢印は、省きますね。グググググググ これが１つググググググ にキを入れます。入れ方はグ□グ□グ□グ□グ□グ□で、６とおりあります。（高校生なら、６！／１！５！ ですね。）これで合計７つ！グググググ にキキを入れます。キキはつながってはいけませんね。グ□グ□グ□グ□グ□ググググキグキグググキググキググキグググキグキググググキグググキグキグググキググキググキグググキグググキグキグググキググキグググキグキグググこの１０とおりがあります。（高校生なら、５！／２！３！＝１０ です。）これで合計１７こ！ググググ にキキキを入れます。グ□グ□グ□グ□ググキグキグキグキググキグキグキグキググキグキグキグキグこの４つしかありません。（高校生なら、４！／３！１！＝４ です。）これで合計２１こ！答えは ２１個でした。実際は、こどもたちはどうやるのか・・・いろいろありますよ。グ→ググ→キからスタートして、ツリー図で考える子が多いと思います。これだと、かなりの余白を使うことになります。そして、枝わかれで 奇数の場合、キ→グしかないことに注意して、慎重に進めます。ツリー図も、先に奇数から攻めていくと、枝分かれの規則が見つかるので、これを偶数にあてはめる、こんな考え方をしている子もいました。どんな規則？ 規則がかくれているのか、ということを意識して解いてみましょう(^.^) （つづく）すみません。画像の実験中です。散歩コースの長久保公園の一角、菖蒲が咲いていた頃です。散歩コースの長久保公園の一角、菖蒲が咲いていた頃です。義兄の姪。去年、結婚したばかりです。
2005.07.25
コメント(1)
-
Ｒくん、剰余系を使う（９）
☆海はかなりシケていました。江の島が霞んで、いつもより、遠くに見えます。かなり幻想的です。そして、波が大きくて、台風が近づいてきているという実感がしてきます。さて、剰余系のお話も終わりに近づいてきました。もう少しで、エピソード篇に入ります。■■■ Ｒくん、剰余系を使う（９） □□□□［きのうの宿題］つぎの（ ）には、どんな数が入りますか？１５×△≡（ ） （ｍｏｄ１５）＞Ｒくん、答えてみて(^.^)「１５÷１５＝１ あまり ０ １５≡０ （ｍｏｄ１５） １５×２÷１５＝２ あまり ０ １５×２≡０×２≡０ （ｍｏｄ１５） １５×３÷１５＝３ あまり ０ １５×３≡０×３≡０ （ｍｏｄ１５） ＞そうだね。最初のあまりが ０ だから、 何倍しても ０ のまま。 だから、「１５×△÷１５＝△ あまり ０ 」１５×△≡０ （ｍｏｄ１５） だから、答えは ０ だよ。」 合ってます。Ｒくんの成長ぶりに、少しずつ加速度がついてきました。マックも少し驚いています(^.^)＞最後の関門は簡単！６７５を１５で割ったら、あまりはいくつ？「６７５÷１５＝４５ あまり ０ ６７５≡０ （ｍｏｄ１５） 」＞まとめてみよう。５０×○＋１５×△＝６７５を１５で割ったあまりは、５０×○のあまりは ５×○１５×△のあまりは ０ ６７５のあまりも ０ ５×○≡０ （ｍｏｄ１５）それでは宿題。［宿題］５×○＋３×△＝１１５を、３で割ったあまりの形に直しなさい。「えーっ！」と言いながらも、Ｒくんの目はキラリと光っていました。（つづく）
2005.07.25
コメント(0)
-
数の動きって？ その３７
今月中に夏休みの課題を終えること！といったら、塾のこどもたちが宿題を持ってきました(-_-;)歴史新聞づくりや理科の自由研究、日記、美術館見学の感想など、いろいろあります。新聞はテーマの見つけ方やレイアウト、見出しのつけ方など・・・理科は花火の研究がしたいというので、炎色反応の話・・・日記や見学は文章の表現方法と５Ｗ１Ｈの話・・・きょうの講義はなんだったのか？それでも、けっこう盛り上がりました(^.^)■数の動きって？ その３７［宿題］６７９の「積の数字根」と６８８の「積の数字根」を、それぞれ求めなさい。［考え方］６７９ → ３７８ → １６８ → ４８ → ３２ → ６６８８ → ３８４ → ９６ → ５４ → ２０ → ０答え ６７９の数字根は６、６８８の数字根は０です。ところで、６７９型は、実際には６個あります。たとえば、７６９ → ３７８ → １６８ → ４８ → ３２ → ６と数字の順番を変えても、３７８になるのでＯＫです。練習のために、６７９型の整数すべてを書いておいてくださいね。では、６８８型は実際には何個あるでしょう？これは、６８８，８６８，８８６の３個ですね(^.^)☆たまには、入試問題に挑戦してみましょう！ パズルのような問題です(^.^)［宿題］１より大きい整数は、次の規則にしたがって何回か操作すると、１になります。＜規則＞その数が偶数ならば、２で割る。その数が奇数ならば、１を引く。たとえば、１３は １３ → １２ → ６ → ３ → ２ → １と、５回の操作で１になります。（１） ４７は何回の操作で１になりますか。（２） ４回の操作で１になる数をすべて求め、 小さい順に答えなさい。（３） ８回の操作で１になる数のうち、偶数は 全部でいくつありますか。 穎明館中学校（つづく）
2005.07.24
コメント(1)
-
Ｒくん、剰余系を使う（8）
☆イメージ力を鍛えると、算数は上達します。数学も同じです。物理も化学も、やはり同じです。たとえば、数と数を足して、和がいくつ・・・これをキャンデーでもドングリでもおはじきでも、イメージしてみます。ノートに書くのも、もちろんいいです。でも、ときどき、頭の中だけで考えてみる・・・これは慣れないとむずかしいかもしれません。でも、数だけではおもしろくもおかしくも、ありません。イメージ力を鍛えましょう。すると、数たちがいきいきと動きだします。さて、あまりの世界のイメージは・・・マックの頭の中をお見せしましょう。池があります。パクパクという数を食べる魚がすんでいます。数がやってきて、池を渡り始めます。すると、パクパクがやってきて数を食べていく・・・２４がパクパク７号に食べられるシーン２４ → １７ → １０ → ３２４≡３ （ｍｏｄ７）ダイエットできました(^.^)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（8） □□□□忘れかけていた問題は、これでした。剰余系の第１回目で、この問題を解くために、ずっと、説明してきました(^.^)［練習問題］りんご１個５０円、みかん１個１５円、合わせて６７５円買いました。何個ずつ買ったのか、組み合わせとして考えられるのは（ ）通りです。［考え方］何個買ったかという全体の数が分かれば、つるかめ算ですが、その数がいくつか分かりません。１個ずつ、数をあてはめていくよりほかは、ありません(-_-;)でも、少しでもシンプルにするために、「剰余系」・・・「あまりの世界」を使うのです！！！＞小学生バージョンで、りんご○個、みかん△個買ったとしよう。式をつくってみよう。Ｒくん、ノートに書き出しています。＞Ｒくん、式はこんなふうになった？５０×○＋１５×△＝６７５「ぼくは中学生だから、 ５０ｘ＋１５ｙ＝６７５ でもいいよ。」＞いまは、５０×○＋１５×△＝６７５ でやってみよう。 Ｒくんには、５０ｘ＋１５ｙ＝６７５ タイプの宿題を出すけれどね(^.^)では、復習をかねて、質問していくよ。まず、５０を１５で割ったら、あまりは（ ）Ｒくん、この（ ）には、どんな数が入る？ 「簡単！５０÷１５＝３ あまり ５ だよ。だから、５！」★マックのイメージ ⇒ ⇒ ⇒ ５０から１５をパクパク食べる！１５の３回分、４５を一度に食べるというイメージでもいいよ。 ５０≡５ （ｍｏｄ１５）＞それじゃ、 ５０×２ を １５ で割ったら？「５０×２÷１５＝６ あまり １０ だから、あれ！」５０×２≡５×２ （ｍｏｄ１５）＞何か、気がついた？「そうだよ。あまりも２倍になる！」＞そうだね(^.^)つぎは、５０×３ を １５ で割ったら？「あまりは、最初の３倍になるから １５ ！」５０×３≡５×３ （ｍｏｄ１５）＞ストップ！ １５で割って、あまりが１５？「これは、割り切れるっていうこと？だから、あまりは０・・・だ！」５０×３≡５×３≡０ （ｍｏｄ１５）＞そのとおり。つぎは、５０×○ を １５ で割ったら？ これも予想してみよう。「最初の○倍になるから、あまりは ５×○」 ５０×○≡５×○ （ｍｏｄ１５）＞まず、第一関門はクリアしたね。つぎは、１５×△ を １５ で割ったら？［宿題］つぎの（ ）には、どんな数が入りますか？１５×△≡（ ） （ｍｏｄ１５）（つづく）
2005.07.24
コメント(1)
-
数の動きって？ その３６
☆カリフォルニアのカラバサスに住んでいた義兄が、家を売って、サンディエゴに新居を買うことになりました。 これが、今まで住んでいた家の裏庭です。 プール カモの親子が並んでいますね(^.^)カラバサスに住んでいたのは１０年くらいでした。仕事の都合で、サンディエゴに移り住むことになりました。マックの嫁さんと娘たちが、遊びに行ったことがあります。娘たちは、残念がっていました。でも、サンディエゴの方がショップがいっぱいあるかも、と言うと、目を輝かしていました。さすが、女性です。とにかくカラバサスは温暖で、庭には果実がいっぱい。豊かな自然・・・ウルトラ大自然に囲まれています。たとえば地元の人は、ペットに馬を飼っているそうです。馬小屋を想像しただけで、かなりでかそうです。また、お隣の家、といっても丘の向こう。どうなってるの？と、マックにはすでに想像を越えた領域です。娘たちはクリスマスの季節に行ったのですが、どこも邸宅ですから、飾りつけが超ド派手。夜、みんなでイルミネーション見物に行ったそうです。今度は、マックも行く予定(^.^)サンディエゴというと、軍港なので横須賀のような街？ちょっと想像力に乏しい感じは否めませんが・・・☆カステラ、というよりは｢豆腐」のような立体を２７等分する問題でした。忘れるところでした。料理で豆腐をほうちょうで切るシーンをイメージすればすぐに解けてしまいます。答えは・・・６回です。料理をイメージした人は、一発で解けてしまいますね(^.^)でも、これじゃ身もふたもないので、いちおう説明しておきます。２６個は、外部と接触しています。カドの８個は、３面が外に出ていますね。辺の部分の１２個は、２面が外に出ています。各面の真ん中になっている６個は、１面だけが外。このように、バラバラにして、グループごとに考えます。でも、１個足りません。それがどこにあるのかというと、大きな立方体の中央に、隠れています。この１個は、６面を外に出してあげなければなりません。１回切れば、１面が外に出ます。２回切れば、２面が外に出ます。だから、６回切ってあげないと、６面全部が外に出られない、こんなふうに考えれば、算数的と言えます。つまり、「１対１の対応」の問題だったのです(^.^)■数の動きって？ その３６［宿題］８６の場合は、積の数字根までたどりつくのに３回かかりました。では、２けたの整数のうちで、積の数字根までたどりつくのに、回数が最も多い数はいくつですか？［考え方］これは、はっきり言って、ローラー作戦しかありません(-_-;)しいて言えば、（１）九九の表を眺めて、たどっていくこと、（２）０，１，２の小さな数がすぐに出てくるようではダメ、このことを意識することでしょうか。すぱっと切れ味のいい解法は、ありません。マックがまず考えたのは、 ９ がほしい ということでした。１９，２９，３９，４９，５９，６９，７９，８９，９９たとえば、１９ は １×９＝９ で１回で終わるので、×まとめて、１回の操作をしてみますね。９，１８，２７，３６，４５，５４，６３，７２，８１このうち、０，１，２がついていないのは、３６，４５，５４，６３この４つの数に、それぞれ操作をほどこすと１８，２０，２０，１８このうち、０，１，２がついていないのは、４９から来た１８と、７９から来た１８の２つだけ。４９はその１つ前が７７とできるけれど、７９の１つ前って、ありません。（素数に分解できません。）答えは ７７ です。そして、数字根は８です。７７ → ４９ → ３６→ １８ → ８参考までに、３けたの数字根では、６７９型と６８８型のステップが５回の最多です。［宿題］６７９の「積の数字根」と６８８の「積の数字根」を、それぞれ求めなさい。
2005.07.23
コメント(1)
-
Ｒくん、剰余系を使う（７
☆夕方、地震がありました。湘南地方は震度３～４。防災有線放送で、津波の危険があるといってました。サーフィンの大会も、これで打ち止め・・・大会を観戦していたマックも、家に向かいました。歩いていた人は、ほとんど、この揺れを感じていませんでした。家族で気づいたのは、ママさんだけでした。さすが・・・です。というか、ノー天気な娘たちです(-_-;)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（７） □□□□［きのうの宿題］１を加えると２で割り切れ、２を加えると３で割り切れ、３を加えると４で割り切れ、４を加えると５で割り切れる２けたの整数は、いくつ？この２けたの整数をＢとおきます。すると（Ｂ＋１）≡０ （ｍｏｄ２）（Ｂ＋２）≡０ （ｍｏｄ３）（Ｂ＋３）≡０ （ｍｏｄ４）（Ｂ＋４）≡０ （ｍｏｄ５）きれいに並んでいます。Ｂが１けたの整数なら・・・Ｂを１として（１＋１）≡０ （ｍｏｄ２）（１＋２）≡０ （ｍｏｄ３）（１＋３）≡０ （ｍｏｄ４）（１＋４）≡０ （ｍｏｄ５）きれいに解決します。つぎは、２けたをさがしましょう・・・でもこのまま進むとどんどん迷路にはまっていきます。直感的に解くことは、できます。 マックはほんとは直感的な進み方 が好きですが・・・これでは インスピレーションの世界そのものです。こんなときは、反対を考えるのです。へそまがりの術！です。素直な子は、「へそまがりの術」が不得意かもしれません。でも、もう少し頭を柔らかくしましょうね(^.^)例をとります。「Ｂに４を加えたら、５で割り切れる」ということは、６という数がありますね。○○○○○│○４を加えて○○○○○│○●●●●│これで、５で割り切れます。ということは、○○○○○│○をよーく観察すると・・・５で割ったら１あまる！！！ということだったのです。ほかのわり算も、まったく同じこと！（Ｂ＋１）≡０ （ｍｏｄ２）（Ｂ＋２）≡０ （ｍｏｄ３）（Ｂ＋３）≡０ （ｍｏｄ４）（Ｂ＋４）≡０ （ｍｏｄ５）はＢ≡１ （ｍｏｄ２）Ｂ≡１ （ｍｏｄ３）Ｂ≡１ （ｍｏｄ４）Ｂ≡１ （ｍｏｄ５）と表現できます。ということは、つまり、Ｂから１を引いた数（Ｂ－１）はＢ－１≡０ （ｍｏｄ２）Ｂ－１≡０ （ｍｏｄ３）Ｂ－１≡０ （ｍｏｄ４）Ｂ－１≡０ （ｍｏｄ５）です。数（Ｂ－１）は、２，３，４，５のどれで割っても割り切れます。２，３，４，５の最小公倍数は６０ なので、数（Ｂ－１）は、６０で割り切れる！！！Ｂ－１＝６０Ｂ＝６１答えは ６１ でした。 次回は、いよいよ、・・・忘れてしまいそうな問題をやります。（なんだっけ？？？）（つづく）
2005.07.23
コメント(0)
-
数の動きって？ その３６
☆立体の切り方に挑戦！先日、サーヤがカステラを買ってきました。これを図のように２７等分しようと思います。全部立方体になっていなくてはなりません。重ねて切ってもかまいません。最低何回切れば、２７等分できますか？こんどは、ケンカにならないように、ママさんが切ることになりました(^.^)答えは、次回に。■数の動きって？ その３６☆積の数字根数字根を使った問題も、中学入試にときどき顔を出しています。２けたの整数で考えてみます。たとえば、３８ならば３８ → （３×８から）２４→ （２×４から）８ このように、各位の数字の積を求め、１けたになったら終了。このとき、「３８の積の数字根は８」といいます。つぎの数の数字根は、いくらでしょう？８６ → → → → 考 え 中 ・ ・ ・８６ → ４８ → ３２ → ６答えは、６でした。［宿題］８６の場合は、積の数字根までたどりつくのに３回かかりました。では、２けたの整数のうちで、積の数字根までたどりつくのに、回数が最も多い数はいくつですか？（つづく）
2005.07.22
コメント(0)
-
Ｒくん、剰余系を使う（６）
☆夏になると汗をかくので、かなりの水分を補給するようになります。水というと、とても当たり前の存在ですが、実は、この水というのは自然界ではとても特異な化合物なのです。融点や沸点がとても高いのです。このしくみは、電子レベルの「結合」という考え方で説明できます。それにしても、自然界に豊富にある水は、へんてこりんな性質を持っていて、なかま意識がとても強いのです。このおかげで、水以外の分子は、水の中でくっついていかざるを得なくなりました。なかまはずれにされた者同士が、しかたないからくっつくという感じです。この分子が複雑になり、やがて生命が誕生します。水のもつこの不思議な「なかま意識」があるから、わたしたちの体もバランスを保っているのです。ですから、水の質と人間の質は、無関係ではありません。もしかしたら、水の質が悪くなると、人間もおかしくなる？！ペットボトルの水しか飲めなくなったというのは、日本の水の質が悪くなったっていうことです。そういえば、家の水道は浄水器つきが当たり前・・・なにか変です(-_-;)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（６） □□□□前回の宿題の答えからです。［きのうの宿題］４で割ると２あまり、５で割ると３あまり、７で割ると５あまる整数のうち、１０００に一番近い数を求めましょう。整数をＡとおきます。すると、Ａ≡２ （ｍｏｄ４）Ａ≡３ （ｍｏｄ５）Ａ≡５ （ｍｏｄ７）数を見比べて、Ａ＋２としてあげると、割り切れることが分かります。たとえば、かりにＡが６なら、それに２をたして８にすれば４で割り切れます。Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ４）Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ５）Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ７）Ａ＋２は、１４０の倍数で１４０×７，１４０×８のどちらかです。１４０×７＝９８０１４０×８＝１１２０Ａ＋２から２を引けば、もとのＡにもどります。９８０－２＝９７８１１２０－２＝１１１８答えは ９７８でした。☆あまりだけに注目すると、とてもシンプルになります。人間の血液型がＡ、Ｂ、Ｏ、ＡＢのどれかに必ず入るように、整数も、必ず「あまり」のどこかに入ります。７月２１日「数の動きって？３５」の鳩ノ巣原理で考えれば、兄弟が無限にいて、部屋の数が有限というケースです。７で割ったあまり・・・これを部屋の数とすると、０，１，２，３，４，５，６の７部屋しかありません。それに対して、整数という兄弟の数は、数え切れないくらいあります。数え切れないから、無限です。☆わり算のかたちで、商とあまりを出してあげてもまったくかまいません。Ａ≡２ （ｍｏｄ４）Ａ≡３ （ｍｏｄ５）Ａ≡５ （ｍｏｄ７）はＡ＝４×Ｂ＋２Ａ＝５×Ｃ＋３Ａ＝７×Ｄ＋５と表せます。すると、左と右の辺に、２をそれぞれ加えてＡ＋２＝４×Ｂ＋２＋２＝４×Ｂ＋４＝４×（Ｂ＋１）Ａ＋２＝５×Ｃ＋３＋２＝５×Ｃ＋５＝５×（Ｃ＋１）Ａ＋２＝７×Ｄ＋５＋２＝７×Ｄ＋７＝７×（Ｄ＋１）この形にすれば、Ａ＋２ は ４、５、７のどれでも割り切れる、ということが見えてきます。どちらのやり方も、あと２だけふえれば、世界が変わる！という「発見」の部分が、飛躍になります。同じタイプの問題を、もう１題解いてみましょう。剰余系でも、トンチでも、答えが見つかればＯＫです。［宿題］１を加えると２で割り切れ、２を加えると３で割り切れ、３を加えると４で割り切れ、４を加えると５で割り切れる２けたの整数は、いくつ？（つづく）
2005.07.22
コメント(0)
-
数の動きって？ その３５
■数の動きって？ その３５［宿題１］１５チームが参加して野球の試合をします。全部で何試合することになりますか？［考え方］負けて悔し泣きをするチームの数と、試合の数は同じはず。負けて悔し泣きをするチームは１４チームありますね。勝ち残った１チームだけが、うれし泣きします。この説明で分かりにくかったら、ノートに１５チームを書いて、トーナメント戦の図を書いて、実験してみてくださいね。Ｏチームはシード校だね(^.^)実験して、つぎは頭の中だけで同じ図が書けるようにする・・・この積み重ねです(^.^)＜補足説明＞（１）最初は１４チーム、７試合が行われます。（○，×）（○，×）（○，×）（○，×）（○，×）（○，×）（○，×）７チームが負けました。７試合と負けたチームの数７が同じ・・・１対１の対応になっていますね。（２）８チームが残っているので、４試合が行われます。 ベストエイトですね。（○，×）（○，×）（○，×）（○，×）４チームが負けました。４試合と負けたチームの数４が同じ・・・（３）４チームが残っているので、２試合が行われます。 準決勝です。（○，×）（○，×）２チームが負けました。２試合と負けたチームの数２が同じ・・・（４）いよいよ、決勝戦です。（○，×）１チームが負けました。１試合と負けたチームの数１が同じ・・・（５）試合の数は、 ７＋４＋２＋１＝１４負けたチームの数も ７＋４＋２＋１＝１４答え １４試合［宿題２の答え］ どんぐり小学校３６７人の６年生がいます。 誕生日が同じ生徒はいますか？［考え方］兄弟が３人で、子ども部屋が２つなら、少なくとも１部屋は、相部屋になります。兄弟が４人で、子ども部屋が３つなら、少なくとも１部屋は、相部屋になります。兄弟が３６７人で、子ども部屋が３６５なら、少なくとも１部屋は、相部屋になります。兄弟を「生徒」、子ども部屋を「誕生日」とすれば、少なくとも１日は、誕生日が同じ２人の子どもがいます。答え いる兄弟が３６７人というのは、「かげき」でしたね。★ところで、子だくさんというと徳川家康が有名です。徳川家康は、１１男５女、合計１６人もこどもがいたそうです。そのほかに、こどもかもしれない、という子が２人。それに、養女が２１人もいたそうです。この養女ですが、実は親戚や家来からもらいうけ、多くは大名の奥さんとして、家康のもとから嫁がせました。家康の娘というブランドをつけたわけです。藤原氏も平家も、娘たちを天皇家に嫁がせることに必死でした。男の子が生まれたら、天皇候補になります。そして、自分はおじいさんとして（外戚として）影響力をもつことができます。いま、ＮＨＫで放映されている「義経」にも、平家のそのような様子が描かれていました。悲劇の天皇、安徳天皇がその人です。清盛の孫にあたります。政治や権力の奪い合いという面からだけではなく、女性の立場、庶民の立場で歴史を見たら、また違った歴史が現れてくるのかもしれません(^.^)（つづく）
2005.07.21
コメント(0)
-
Ｒくん、剰余系を使う（５）
☆夏休みが始まりました。宿題は、７月中に終わらせるのが原則です。いつまでも大切に取っておく子がいますが(^.^)やる気曲線は、だんだん下がっていきます。でも、観察日記のように毎日つけていくものは、習慣にしてしまうといいです。そのためには、規則正しい生活が必要・・・その逆で、観察日記をつけるために、生活にリズムがついてきます。ところで、「観察」はとても大切です。ちょっとした変化にも気づけるというのは、毎日観察しているからです。こういう気づきの方法は、大人になってからとても役に立ちます。せっかくの夏休みです。生物や植物、星、天気、波、風・・・なんでもいいです。毎日観察していくことで、細かなことに注意する習慣が身につきます。ノートを１冊用意して、今日から、今日間に合わなければ明日から、観察日記をつけてみてください。■■■ Ｒくん、剰余系を使う（５） □□□□［きのうの宿題］５で割ると４あまり、７で割ると６あまる整数のうち、１００に一番近い数を求めましょう。整数をＡとおきます。すると、Ａ≡４ （ｍｏｄ５）Ａ≡６ （ｍｏｄ７）いつも、具体的な数に注目しましょうね(^.^)４と５ ６と７それぞれ、１つ違いです。ここに、突破口があります。（Ａ＋１）≡５≡０ （ｍｏｄ５）（Ａ＋１）≡７≡０ （ｍｏｄ７）Ａ＋１ は、５で割っても、７で割っても、割り切れる！！！Ａ＋１ は、３５の倍数だー！３５の倍数、いきますよ３５，７０，１０５，１４０，…Ａに戻すには、１を引いてあげればいいですね。３４，６９，１０４，１３９，…答えは １０４ でした。［宿題］４で割ると２あまり、５で割ると３あまり、７で割ると５あまる整数のうち、１０００に一番近い数を求めましょう。（つづく）
2005.07.21
コメント(0)
-
数の動きって？ その３５
☆１対１の対応の続編です。この考え方は、算数や数学のあらゆる場所に現れてきます。ふだんでも、「１時間勉強したら、１時間遊ぶからね。」と言って机に向かっている子がいます(^.^)これが、「１対１の対応」です。「だめよ、１時間勉強したら、１５分だけよ！」とママが新しい「１対１の対応」を持ち出しても、マックは責任を持ちませんので(^.^)■数の動きって？ その３５チョコの問題、解けました？解ける前に、溶けちゃた？！(^.^)これは、「１対１の対応」で考えれば、いいのです。１回割ると、チョコは１個増える・・・このように考えます。チョコは始めはこうなっているとします。□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□（１回目）横の筋にそって割ってみましょう。□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□１個のかたまりから、２個のかたまりに、１個増えました。この作業を続けていきます。□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□（２回目）２個のかたまりから、３個のかたまりに、１個増えました。□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□（３回目）３個のかたまりから、４個のかたまりに、１個増えました。□□□□□が４個ですね。この１個ずつについて、□□□□□ ↓□ □□□□ ↓□ □ □□□ ↓□ □ □ □□ ↓□ □ □ □ □４回割れば、バラバラになります。４個のかたまりについて、４回ずつ割るということは、合計で ４×４＝１６回割ったことになります。合計で、３＋１６＝１９回これは、どんな割り方をしても、いつも同じ１９回です。１回割る → 新しく１個ふえる２０個に分けたい。１回割ると１個増えて、２個になる。この作業の繰り返しです。１個を２０個にバラバラにするためには、１９回割ってあげればいいのです。もっと簡単に、３個になるように筋の入ったチョコなら、□□□３－１＝２回、割ってあげればいいし、６個になるように筋の入ったチョコなら、□□□□□□６－１＝５回割ってあげればいいわけです。最終的に何個にしたいのか！そこから逆算して考えようという問題ですね。これと似た考え方をするのが、つぎの古典的な問題です。［宿題１］１５チームが参加して野球の試合をします。全部で何試合することになりますか？また、つぎの問題は鳩ノ巣原理を使った、これも古典的な問題です。［宿題２］どんぐり小学校に３６７人の生徒がいます。誕生月日が同じ生徒はいますか？（つづく）
2005.07.20
コメント(0)
-
Ｒくん、剰余系を使う（４）
☆きょうも暑い・・・とばかりも言ってられません。もうじき夏休みが始まります。夏休みに、何かひとつの科目に重点をしぼり、てっていてきに研究する、というのもいいですね(^.^)受験の学年になっていない子は、自分でほんとうに調べたいこと、学びたいことを夢中になってやってみてください。それが、大きな力、そして、自信につながっていきます。マックは、小学生のときは「歴史調べ」と「読書」、中学生のときは「英語文法」や「国語文法」、それに、「日本の古代史」、「植物標本づくり」など夏休みに、けっこう、夢中になってやっていました。もちろん、毎日海に行って、真っ黒に日焼けしていました。夜になると、はだがヒリヒリして、まいりましたが・・・■■■ Ｒくん、剰余系を使う（４） □□□□［きのうの宿題］ある数と、７で割ったらあまりが６になる２けたの数をかけたら、３９０になりました。ある数はいくつ？３９０と書かれているのだから、３９０を使います。どのように？３９０を７で割ってみましょう。３９０ （３５０を抜く）≡４０ （３５を抜く）≡５ある数を○とおきます。「ある数と、７で割ったらあまりが６になる２けたの数をかけたら」とあるので、剰余系で ○×６ としておきましょう。すると、あまりは５になるので、（○×６）≡５ （ｍｏｄ７）７で割って、あまりが５になる数は ・ ・ ・１２ がありますね。（○×６）≡５ （ｍｏｄ７） １２ ≡５ （ｍｏｄ７）○×６ と １２ をくらべて・・・○は２、つまり、７で割ってあまりが２になる数です。２，９，１６，２３，３０，７で割ったらあまりが６になる２けたの数は１３，２０，２７，３４，４１，４８，５５，６２．６９，７６，８３，９０，９７ところで、３９０は素数で表せば３９０＝２×３×５×１３２のファミリーは １と２３のファミリーは １と３５のファミリーは １と５１３のファミリーは １と１３これらを頭のすみにおいて、３９０になる計算式を書き出します。３９０＝１×３９０３９０＝２×１９５３９０＝３×１３０３９０＝５×７８３９０＝６×６５３９０＝１０×３９３９０＝１３×３０３９０＝１５×２６この計算式の中で、７で割ったらあまりが６になる２けたの数は、１３しかありません。３９０＝１３×３０このことから、○は３０…これが答えです。かなり原始的な解き方です。でも、こういう地道なトレーニングが、「ひらめき」につながっていきます(^.^)［きょうの宿題］５で割ると４あまり、７で割ると６あまる整数のうち、１００に一番近い数を求めましょう。（つづく）
2005.07.20
コメント(0)
-
数の動きって？ その３４
☆上の娘カオリンが買ってきたチョコレートをみんなで分けようという話になりました。そこで、マックが娘たちに問題を出しました。［問題］たてに４個、横に５個、合計２０個に分けられるように、筋が入っています。これを、３０個にバラバラにするには最低何回割ればいいか？ という問題を出しました。重ねて割るのはＮＧです。また、筋にそって割ります。答えは（ ）回とカオリンは平然と答えました。マックのもう一人の娘サーヤは、答えるよりも前に食べたので、ケンカになりましたが(-_-;)妹の方が、やることが速い傾向にあるようです・・・さて、答えはいくつでしょう。次回の冒頭で、発表します(^.^)◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その３４連比は、比と比をくっつけます。［例題］Ａ，Ｂ，Ｃの３匹のリスがいます。どんぐりの食べ競争をしました。結果は・・・ＡとＢが食べたどんぐりの比は２：３，ＡとＣが食べたどんぐりの比は５：４でした。Ｂリスくんが、３０個食べたとしたら、Ｃリスくんは何個食べたでしょう？こんな表づくりからはじめましょう。 Ａ ： Ｂ ： Ｃ───────────────できました？つぎは、分かっている比を入れて・・・ Ａ ： Ｂ ： Ｃ─────────────── ２ ： ３ ５ ： ４───────────────表が下にのびていきますよ。Ａのところに２つ数が出ているので、ここに注目します。☆数が、解決のキーですよ。２と５を同じにしたら、何が起こる？ Ａ ： Ｂ ： Ｃ─────────────── ２×５ ： ３×５ ５×２ ： ４×２ ───────────────どんな操作をしたのか、気がついた子、いますか？上の行（ぎょう）を５倍下の行を２倍すれば、Ａが１０になって、Ｂが１５になって、Ｃが８になる！これで、ＡとＢとＣを比べることができます。 Ａ ： Ｂ ： Ｃ─────────────── ２×５ ： ３×５ ５×２ ： ４×２ ─────────────── １０ ： １５ ： ８Ｂリスくんが３０個食べたとしたら、Ｃリスくんは１５ ： ８ ＝ ３０ ： （ ）（ ）＝８×３０÷１５＝８×２＝１６答えは １６個 になりました。ところで、一番たくさん食べたＢリスくん、あとでおなかが痛くなったそうです(-_-;)☆「容積」という用語があります。この容積と体積の区別がつかないこどもたちが増えています。高校生でも、です。その器にどれだけの水が入る？ これが「容積」。鉄のかたまりを水そうに入れました。すると、水面が２ｃｍ上がりました。鉄の体積分だけ水が押しのけられて上にいきます。これが「体積」。きみは、どれだけ水が飲める？これは容積の問題。きみがコップになっている。おふろに入ったら、水面が上がります。きみがおふろにつかっている部分の体積だけ、水が押し出され、すると上に行くしかありません。このとき、きみが押しのけた水の量、それが体積。きみの体積を正確に測るには、頭まですっぽりと湯舟に入ればいいのですが、良い子はやめてくださいね。これをやっていて、溺れた子がいます。「アルキメデスの原理」は、ここから生まれました。自分が押しのけたお湯の量・・・それが自分の体積！！こんなことも、たまには考えておふろに入ってみましょうね(^.^)（つづく）
2005.07.19
コメント(0)
-
Ｒくん、剰余系を使う（３）
☆かなり暑くなりました。これからが夏本番でしょうか。さきほど、海岸を散歩してきました。さすがに、浜辺は曇りの日なので、涼しい風が吹いてきます。どうしてもクーラーを使いたくなりますが、よほど暑いとき以外は、クーラーは使いません。あとで体調が悪くなります。できるだけ自然なのがいいですね。いま、こうしてパソコンに向かっていますが、窓から涼しい風が入ってきます(^.^)そういえば、かぼちゃの蔓が、すごいことになってます。生命力があるんですね。庭を自由に這ってます。というか、伸びています。これは、母が植えたもの。日々、成長しています。こどもも、夏に成長します。心身ともに大きく成長して、秋を迎えたいものですね(^.^)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（３） □□□□前回の［宿題］の答えです。３４５６×８６４２を７で割ったあまりを求めなさい。まるでわり算のスタイルで、計算しますね。３４５６ （２８００を抜く）≡６５６ （６３０を抜く）≡２６ （２１を抜く）≡５８６４２ （８４００を抜く）≡２４２ （２１０を抜く）≡３２ （２８を抜く）≡４（３４５６×８６４２）≡（５×４） （ｍｏｄ７）（５×４） ≡２０ （１４を抜く）≡６答え ６こんな問題は、どうですか？あまりに注目！これも、中学入試のアレンジ問題です。［宿題］ある数と、７で割ってあまりが５になる数をかけたら、３９０になりました。ある数はいくつですか？（つづく）
2005.07.19
コメント(0)
-
数の動きって？ その３３
比の積も、比の商も２つの ●×▲＝■ のお話です。●をタテ、▲をヨコ、■を面積として図に描きながら考えてもいいですね(^.^)●×▲ ： ○×△これが比の積、そして■÷▲ ： □÷△これが比の商のイメージです。それでは、はじめます。■数の動きって？ その３３比の商のお話です。［練習問題１］５０円玉と５円玉の金額の比が５：２のとき、枚数の比は（ ）：（ ）です。（ ）の中に、もっとも簡単な整数を入れなさい。また、金額の合計が８４０円のとき、５０円玉は何枚あるることになりますか？つぎのような表をノートに書いてください。枚数の比と、金額の比も入れましょう。 ５０円玉 ５円玉──────────────────────額面の比 １０ １──────────────────────枚数の比 ──────────────────────金額の比 ５ ２ ──────────────────────枚数の比は、Ａ：Ｂとでも置いておきましょう。 ５０円玉 ５円玉──────────────────────額面の比 １０ １──────────────────────枚数の比 Ａ Ｂ ──────────────────────金額の比 ５ ２ ──────────────────────すると、金額の比は、１０×Ａ ： １×Ｂ ＝５：２長方形をイメージするといいですよ。たて１０、横Ａの長方形の面積とたて１、横Ｂの長方形の面積の比が５：２です。１０×Ａ ： １×Ｂ ＝５０：２０Ａ＝５，Ｂ＝２０もっと簡単な比に直すと、５：２０＝１：４ です。これが、答えです。これを表に入れておきましょう。 ５０円玉 ５円玉──────────────────────額面の比 １０ １ ──────────────────────枚数の比 １ ４──────────────────────金額の比 ５ ２──────────────────────記入しましたか？それぞれ金額の比の数を額面の比で割った比は５÷１０ ： ２÷１計算してみます。５÷１０ ： ２÷１ ＝ １／２ ： ２ ＝ １ ： ４これが比の商でよく出てくる問題のタイプです。☆このほかで、有名なものは「連比」です。比がつながっている・・・というイメージです。５人のこどもがいて、ヤマモモを５個，１０個，１５個，２０個，２５個ずつ持っていたらその比は１：２：３：４：５ですね。これが連比のイメージ。次回は、この「連比」の基本問題にチャレンジしていきます。（つづく）
2005.07.18
コメント(1)
-
Ｒくん、剰余系を使う（２）
近所を散歩していたら、高校野球選抜戦の応援の声が、球場からこだましていました。海のほうへ向かうと、サーフィン、そしてビーチバレー・・・夏の風物詩です。でも、受験生にとっては、「休み」なんて言っていられない季節です。受験生、がんばれっ！！！涼しい時間帯にちょっと歩くと、リフレッシュできますよ(^.^)■■■ Ｒくん、剰余系を使う（２） □□□□－－あまりの世界の「たし算」と「ひき算」－－☆数の計算と同じことが、あまりの世界でもできる！ このことを覚えておいてください。今回は、「たし算」と「ひき算」の説明てす。＜たし算＞まず、１７と２５を足してみます。足した４２を７で割ると、あまりは０ですね。（１７＋２５）÷７＝６ あまり ０では、１７と２５をそれぞれ７で割ってみると、 １７÷７＝２ あまり ３ ２５÷７＝３ あまり ４ 「あまり」を見てください。３＋４＝７になっていますね。７は割り切れるので、０になっているけれど。つまり１７≡３ （ｍｏｄ７）２５≡４ （ｍｏｄ７）なら、（１７＋２５）≡（３＋４）≡０ （ｍｏｄ７）というたし算が、数の世界でも、あまりの世界でもできる、このことが分かります。４２≡０ （ｍｏｄ７）６２と１３８で実験してみましょう。６２のあまりは ６１３８のあまりは ５すると、２００のあまりは６＋５＝１１≡４ （ｍｏｄ７） になります。＜ひき算＞たし算でできるということは・・・ひき算でもできます。１７÷７＝２ あまり ３２５÷７＝３ あまり ４（２５－１７）÷７＝１ あまり １実際、（２５－１７）≡（４－３） （ｍｏｄ７） ８ ≡ １でなりたっていますね。［例］１０００を７で割ったあまりはいくつ？足し算の考え方でやると１０００≡（７００＋３００） （７００のあまりは０）≡３００≡（２８０＋２０） （２８０のあまりは０）≡２０≡６これって、まるでわり算をやっているようです。違うのは、「あまり」だけに意識を集中しているかどうか、だけ(^.^)引き算の考え方でやるとうしろに７で割って消える数を持ってきます。１０００≡（１０００－７００）≡３００≡（３００－２８０）≡２０≡６で、答えは６ですね。数字がどんどん消えていきます。（つづく）☆１年はうるう年でなければ、３６５日ありますね。３６５≡１ （ｍｏｄ７）になります。どうしても、あまり１が出てきてしまいます。今年の１月１日が月曜日なら、１２月３１日はあまり０で、月曜日。３６５日後となる翌年の１月１日は火曜日になります。こうして、１年ごとに曜日が１つずつずれていきます(^.^)カレンダー、毎年同じなら、買い換えなくてもいいのに・・・
2005.07.18
コメント(0)
-
数の動きって？ その３２
ナノロボットって、知っていますか？１ナノメートルというと、１ｍを「１０を９回かけた数」で割れば出てきます。想像するのが困難です。原子や分子の世界のサイズになります。このナノロボットは、自分のコピーを大量に造っていくという特徴があります。サイズは自分よりも小さいロボットを、何百、何千、何万と造ることができます。まるで、ウィールスのような感じですね。このテクノロジーを物理学者のファインマンという人、ノーベル賞を受賞していますが、彼が、約半世紀前に予言しています。そして、時代はまさに、そういう世界に突入しています。ところで、きょうの話題に出てくる「アルゴリズム」は、数のロボットかもしれません。■数の動きって？ その３２＜比の積・比の商＞比の積や比の商は、使わないと損です。計算の手間が減るだけではなく、脳にやさしい解法を、自分で見つけられるようになるからです。比の積の考え方は、コンピュータによく見られます。比の積とは、「比と比をかけて、その結果どうなる？」という結果の部分です。比と比がいつも同じ場合は、次のような問題をつくることができます。食塩水を一定の割合で薄めていったり、杭を一定の割合で地面に打ちこんだり、（杭を打ち込むのは、夏バージョンなら「ドラキュラ」でしょうか(^.^) 変な想像をしてしまいました。）ボールを一定の割合でバウンドさせたり・・・中学入試では、上のようなスタイルで出てきます。また、現実の経済では、金利計算に出てきます。さて・・・どの問題も「アルゴリズム」の問題です。「アルゴリズム」は、同じことの繰り返しです。このところ、ハスの花がきれいでした。このハスが成長します。１日で倍の面積に広がるとしましょう。１ → ２ → ４ → ８ → １６ → ３２こんな感じで、広がっていきます。これを、１つずつにバラバラにしてみると、どれも１ → ２の運動の繰り返しに過ぎません。 １ → ２ １ → ２ １ → ２ １ → ２これを計算のシステム（しくみ）としてながめると、はじめの２は １×２つぎの４は １×２×２そのつぎの８は １×２×２×２いつも、×２として右端に継ぎ足していけばいいのです。こういうコンピュータが得意とする式、同じことの繰り返しを「比」でもやろうというのです。このときに、便利な考え方が「比の積」なのです。実際の入試問題は、後日にやりますから、待っててくださいね(^.^)ここでは、とりあえず、説明しておきます。さて、実際の比の積は、数がどんどん変わっていきます。それでは、実験に入っていきましょうね。よく使われるのが５０円玉と５円玉。何ででしょう？穴が開いているという共通性はありますが・・・マックにも、その理由は分かりません。［練習問題１］５０円玉と５円玉の枚数の比が５：６のとき、金額の比は（ ）：（ ）です。（ ）の中に、もっとも簡単な整数を入れなさい。つぎのような表をノートに書いてください。 ５０円玉 ５円玉──────────────────────額面の比 ──────────────────────枚数の比 ５ ６──────────────────────金額の比──────────────────────額面の比は、すぐに埋まりますね。５０：５＝１０：１ それでは、結果を表に記入しましょう。 ５０円玉 ５円玉──────────────────────額面の比 １０ １ ──────────────────────枚数の比 ５ ６──────────────────────金額の比──────────────────────すると、金額の比は、１０×５ ： １×６ ＝５０：６＝２５：３よって、答えは ２５：３ になるというのです。 ５０円玉 ５円玉──────────────────────額面の比 １０ １ ──────────────────────枚数の比 ５ ６──────────────────────金額の比 ２５ ３──────────────────────記入しましたか？この ２５：３ が比の積です。大根とトマトの問題でもいいですね。［練習問題２］大根とトマトの１本あたりのねだんの比は、５：２です。サラちゃんが買った数は、それぞれ６本と８個でした。払った代金の合計は、９２０円です。では、大根を１本いくらで、何本買ったことになりますか？ねだんと本数を表をつくって、比を書きこみましょう。６：８＝３：４と、かんたんにします。 大根 トマト──────────────────────ねだんの比 ５ ２ ──────────────────────個数の比 ３ ４──────────────────────代金の比 ──────────────────────代金の比は、（ねだんの比）×（個数の比）で出てきますね。 大根 トマト──────────────────────ねだんの比 ５ ２ ──────────────────────本数の比 ３ ４──────────────────────代金の比 １５ ８──────────────────────すると、９２０円を１５：８に比例配分するという問題になります。大根は ９２０円×１５／２３＝６００円 買ったことになります。６本買っているから、６００÷６＝１００大根１本のねだんは、１００円です。 比の積の話のつぎは、比の商です。一言でいえば、比の商は、比の積を逆さまにしたもの、です。（つづく）ナノロボットは、未来のロボットです。自分たちで勝手に増えていくこともできます。だから、もし、人間のコントロールを離れたら、人類にとっては、ウィールス以上の脅威になります。そうならないように、しっかり勉強して、テクノロジーを使いこなしてくださいね。きみの手に、未来が託されているのだから・・・(^.^)
2005.07.17
コメント(0)
-
Ｒくん、剰余系を使う（１）
新課程に変わってから無くなってしまった分野、おそろしいほどたくさんあります。公立学校では、大切な算数・数学の項目が大量に絶滅しています。私立学校で、かろうじて生きながらえているといった状態です。剰余系が、中学数学にありました。また、私立中学校の入試にも出ていました。小学校では日暦算でよく出てきます。数の穴埋め問題でも人気です。Ｒくんに、この剰余系の話をすることになりました。つぎの問題を解くときに、知っておいた方が、守備範囲がぐーんと広がるからです。［練習問題］りんご１個５０円、みかん１個１５円、合わせて６７５円買いました。何個ずつ買ったのか、組み合わせとして考えられるのは（ ）通りです。これを解くのに、数をあてはめていく方法ではとても時間がかかります。そこで、剰余系の考え方で解いてみようと思います。ところで、「剰余系」って何でしょう？■■■ Ｒくん、剰余系を使う（１） □□□□ 中学生の数学から抜けてしまった「剰余系」・・・「それじゃ、私立中学校の入試にも出ないよね。」というきみ・・・甘い！私立中学校の入試には、いぜんとして出てきます。お化けではありません、念のため・・・この「剰余系」については、１年半ほど前に「ぱくぱくの池」の話をしました。わり算の「あまり」だけで数を区別するというお話でした。これが「剰余系」です。身近なところでは、 曜日 と 日付 の関係です。きょう、７月１７日は日曜日です。つぎの日曜日は２４日、そのつぎは３１日。７日で曜日が１周します。１７を７で割ってみると、あまりは ３２４÷７ のあまりは ３３１÷７ のあまりは ３７で割った「あまり」の世界を想像してみましょう。この世界には、７個の数しかありません。 ０ （７で割り切れる、ということ） １ ２ ３ ４ ５ ６ １７と２４と３１は、「あまり」の世界では、同じです。みんな ３ として、分類されます。引いても同じです。１０と３ は７で割って、あまり７。つまり、７月はあまり「３」になる日が日曜日です。あまりが４ならば、月曜日・・・あまりが５ならば、火曜日・・・などと続きます。数字の表に、結果を書き入れてみましょう。 ０ １ ２ ３ 日曜日 ４ 月曜日 ５ 火曜日 ６ 残りは、もう書けますね。表を完成させましょう(^.^) ・ ・ ・ ０ 木曜日 １ 金曜日 ２ 土曜日 ３ 日曜日 ４ 月曜日 ５ 火曜日 ６ 水曜日このようになりますね。それでは、７月２７日は何曜日？ ・ ・ ・ ・ ・ ２７÷７＝３ あまり ６ ６を表で見てみると、「水曜日」になっています。 この剰余系では、 ２７÷７＝３ あまり ６ のことを （２７，ｍｏｄ７）≡６または、 ２７≡６ （ｍｏｄ７）のように表します。この計算方法を知っておくと、とても便利です。なぜなら、つぎのような問題が、いきなり出てくるからです。ほんと、お化けやしきの方が、まだましです。［例題］ ７けたの整数、１７６□３８２ が７で割り切れるように、 □に適当な数を入れなさい。 こういうタイプの問題が、中学入試にときどき出てきます。これを解くには、・・・次回、計算のルールをお話します(^.^)（つづく）☆今のこどもたちがときどき可哀想になります。学習内容のレベルが低過ぎると、いつも思います。公立学校の先生の中にも、危機感から旧課程の教科書をプリントして、生徒たちに配っているという熱心な方もいます。マックには、その気持ち、よーく分かります。
2005.07.17
コメント(1)
-
数の動きって？ その３１
細切れに、時間が空いたら日記を書いています。書きたいことが、たくさんあり過ぎです。では、公立小学校では教えてくれない「逆比」について、お子さんといっしょに読んでみてください(^.^)◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その３１時間と速さの関係は、魔法の式 ●×▲＝■で表すと、● 速さ▲ 時間■ きょりこの中で、きょりが変わらない、というのです。適当な数をおいてみましょう。ロビンの家からクルミたちの住む森の入口まで、１２００ｍあります。●×▲＝１２００● 分速▲ 何分？■ １２００ｍロビンは分速８０ｍで進むと（ ア ）分、分速１２０ｍで進むと（ イ ）分かかります。すなおに解けば、分速８０ｍのときは８０×▲＝１２００ ▲＝１２００÷８０＝１５（分）分速１２０ｍのときは１２０×▲＝１２００ ▲＝１２００÷１２０＝１０（分）このように、答えが出てきます。ではこれから、この関係をへそまがりに、逆比でみてみましょう(^.^)まず、速さの比です。８０：１２０＝８：１２＝２：３ になりますね。時間の比は１５分：１０分＝３：２比が逆になってます。２：３ と ３：２きょり■が一定なら、速さ●の比と、時間▲の比は、逆になります。逆比って、これだけなのです。でも、この関係をじょうずに使うと、問題を解くのに、とてもパワフルになります。力が一段、レベルアップします(^.^)もう少したったら、この日記で私立中学校の受験問題を解いていきますが、そのときに、この威力が分かるでしょう。さてと、この逆比の問題、三角形の面積の問題として学校でやった子が多いと思います。［練習問題］ 三角形の面積を変えずに、底辺を３倍にしました。 すると、高さは何倍になりますか？こういう問題は抽象的です。☆大切なこと抽象的でイメージできないなら、具体的な数に置き換えてみる、これが算数上達のポイントです。三角形の面積を４×６÷２＝１２底辺 ４ｃｍ 高さ ６ｃｍ面積 ２４平方ｃｍとしてみます。数は、適当でいいです。でも、慣れてくると、かけたり割ったりしやすい数を自分で選べるようになります。それまでは、だれでも、書いては消して！ということを繰り返します。最初から、じょうずにいく子なんて、いませんから・・・では、底辺を３倍にしてみましょう。１２×（ ）÷２＝１２÷２を移項して１２×（ ）＝１２×２この式を見たら、（ ）が２ということがピンときますね。高さが６ｃｍから２ｃｍに３分の１になっています。比でみれば、６ｃｍ：２ｃｍ＝３：１これが、逆比の関係。底辺が １：３高さは ３：１この「逆比」を予想して、問題を解くのですが、残念なことに、「逆比」は公立小学校では教えてくれません。でも、きみが知っておくべきことは魔法の式●×▲＝■だけでいいのです。■が一定のときに何が起こるか？その動きが ●×▲＝■ から導くことができさえすれば、それで充分ですよ(^.^)次回は、比の積・比の商の話に入っていきます。（つづく）
2005.07.16
コメント(0)
-
秘密をお話します －数の動き・特別号ー
☆秘密をお話します －数の動き・特別号ーこどもたちに、余分なストレスを与えていませんか？きょりの公式、食塩の濃さの公式、追い越し、出会い、時計算、列車が橋を渡る？ トンネルをくぐる？船が川を下ったり上がったり・・・売上げ算、倍数算、相当算、植木算・・・もこんな公式集は、ゴミ箱に捨てましょう。マックは、こういう公式は使っていません。まったく覚える必要がないからです。●×▲＝■のしくみが分かれば、自然に理解できてしまいます。きょうは、この日記を読んでいただいている方だけに、算数や数学が得意になる秘密の一端をお伝えします。☆ポイント☆公式を詰め込むことは、こどもたちにとって、大きな苦痛になります。だから、できるだけスムーズに頭に入っていくように、物語風に、シンプルに教えてあげることがポイントです。たとえば、学校でも「キハジの法則」、あるいは「ハジキの法則」という名前で、きょりの公式を覚えさせるのが好きな先生がいます。でも、この公式を覚えたからといって、それを使いこなせるこどもは、ほとんどいません(-_-;)しくみがわからないまま、棒暗記しているのですね。だから、「うちの子は、キハジの法則を知っている！」と、喜んでいる場合ではありませんよ。マックも、何人ものこどもたちに、表現は悪いのですが、ダマサレました。「ぼく、キハジの法則、知ってるもん。」と言うので、問題を出します。すると、で・き・ま・せ・んと小声で言うのです。できないのは、なぜ、キハジの法則ができているのか、しくみを理解していないからです。キハジの法則を覚えることに神経をとられ、かんじんの理解が置き去りにされているのです。マックの娘たちも、そうでした。学校で聞いてきて、はじめのうちは喜びました。新しいおもちゃを手に入れたのと同じ感覚です。でも、●×▲＝■にすぐにもどりました。濃さの公式なんて、ノートに書いて覚えるなんてことしていたら、人生は暗くなります。 食塩の重さ食塩の濃さ（％）＝──────×１００ 食塩水の重さ食塩の重さ＝食塩水の重さ×食塩の濃さ（％）÷１００これを必死になっておぼえようとしている子がいたら、手を上げてください。ご苦労様としか、いえません。人生、よけいな苦労はしなくてもいいのです。もっとスマートに勉強しましょう(^.^)きょりの話ならば、●×▲＝■● 速さ▲ 時間 ■ きょりこれだけ・・・です。この式をこどもたちに説明し、練習問題をしてもらうだけ。濃さの話なら、●×▲＝■● 食塩水の重さ▲ 濃さ（％） ■ 食塩の重さこれでおしまいです。あの長～い公式を覚えるのに、どれだけの時間と努力が必要でしょうか？もったいないと思います。もちろん、実際に教えるときは、ほかのツールも使います。中学生になっても、高校生になっても使えるように、しかけをしておきます(^.^)でも、基本は同じです。●×▲＝■ からすべてはスタートします。きょりの公式を覚える必要はありません。「キハジの法則」は即効薬ですが、効き目は一度だけで、効いている時間も短時間です。この公式を覚えさせるよりも、何にでも使えるやり方を教えておくことの方が、こどもたちにとっては、「未来」を手に入れたことになります。
2005.07.16
コメント(0)
-
数の動きって？ その３０
☆マックの教育雑感こどもたちといっても、世界中にいます。当たり前でした。（爆）アメリカのこどもたちの算数の様子を見に、数学フォーラムの掲示板を見てきました。小学校低学年を受け持つある教師の方からの質問です。「足し算や引き算、それにかけ算でつまづいている子供たちにタッチ・マス(Touch Math)という教材は有効でしょうか？」やはり、教師の方が答えていました。「タッチ・マスは使ったことがないので、分かりません。なので、私の実践例をお話します。生徒でたとえば、九九の７の段が出来ない子には、お互いを『７×６＝４２さん』とか、『７×８＝５６さん』と呼び合うようにします。進み具合はゆっくりですが、これで確実に覚えていきます。「また、九九のシートを用意して、よどみなく言えるものをどんどん消していきます。そして、教師は消えていないところを重点的に教えます。教師は、一人一人の生徒をみている十分な時間がないので、この方法で、生徒がどこでつまづいているのかを、素早く把握できます。「フラッシュカードも効果がありますよ。裏に、すぐ言えた場合には緑色のマークをつけ、マークのついていないカードを徹底して繰り返し、やらせます。」だいたい、このような答えでした。特に、かけ算でお互いを呼び合うというのが凄いと思います。日本でこれをやったら、なかなかできない子が集中攻撃されて、「いじめ」に発展する可能性がありますが・・・タッチ・マスは小学校低学年用の計算ツールで、計算するときに数を覚えておくための補助教材であると、書いてありました。おそらく、アメリカのこどもたちも、指を使って計算する子がいるのでしょう(^.^)掲示板を見ていると、どこの国のこどもたちも、算数の理解、数の理解でつまづくようです。これは万国共通なんですね。フラッシュカードについては、アメリカでも多くの教師の方が使っています。こどもに覚えさせたいこと、理解させたいことを紙芝居のようにストーリー性を入れて作ってあげる・・・これは手間がかかりますが、マックも娘たちが幼いころにけっこうな量を作りました。娘たちも喜んで使っていました。時計や足し算、引き算、理科の天体で星座、社会は国旗のカードが売っていたので、それを使いました。こどもたちの知識欲は想像以上です。あきさせない程度に毎日、フラッシュカードを見せてあげる、新しいカードを古いのと少しずつ取りかえていく・・・小学校の低学年までは、この方法で相当に知識を覚えます。かけ算が苦手なお子さんは、さっそく、フラッシュカードを作ることをお奨めします。２×２＝４ と大きく書いて、「ににんがし」とふりがなをふっておいてあげます。お子さんに覚えさせたいことは、とりあえずフラッシュカードにすると、役立ちます。以上、マックの子育て経験でした(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□Ｒくんは連立方程式にチャレンジしています。中学生が連立方程式をやり始めると、二元一次方程式がはじめに出てきます。実は、この方程式、姿を変えて、つぎのようなスタイルで中学入試問題にも出ています。［練習問題］りんご１個５０円、みかん１個１５円、合わせて６７５円買いました。何個ずつ買ったのか、組み合わせとして考えられるのは（ ）通りです。数が分かれば、つるかめ算ですが、その数がいくつか分かりません。１個ずつ、数をあてはめていくよりほかはありません(-_-;)小学生バージョンで、りんご○個、みかん△個買ったとしましょう。式をつくってみましょう。＞式は、こんなふうになったかな？５０×○＋１５×△＝６７５「ぼくは中学生だから、 ５０ｘ＋１５ｙ＝６７５ でもいいよ。」＞用意ができたら、（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その３０つぎの問題で、反比例を考えてみましょう。反比例といっても、２つの数（量）の特殊な関係のこと、特別むずかしいというものでもありません(^.^)［例題］面積が２５ｃｍの正方形があります。いま、面積を変えないで、横の長さを半分にすると、たての長さは何ｃｍになりますか？正方形は ５×５＝２５ でぜんぶの辺の長さは ５ｃｍ です。横の長さを半分の ２．５ｃｍ にしてみましょう。すると、たての長さ▲は、２．５×▲＝２５移項して▲＝２５÷２．５＝１０なので、たての長さは１０ｃｍこれを書き出して並べると、おもしろい関係が出てきます。（横の長さ） ５ → ２．５（たての長さ） ５ → １０横の長さが半分になると、たての長さは倍になっていますね。これが、反比例の性質ですね。そして、（横の長さ）×（たての長さ）＝２５２５は変わらないので「定数」と呼ばれ、比例も反比例も、定数のことを「比例定数」と言います。この先、横の長さが１／３倍になれば、たての長さは３倍・・・というように、永遠に続きます。☆ここから先は、理科の好きな子向けの話になります(^.^)反比例のときは「反比例定数」と言えばいいのかもしれません？ところが、変数が３つ以上の世界も出てきます。これも、中学生の内容ですが、電気の抵抗の話が有名です。抵抗は、電流の流れにくさです。たとえば、一本の銅線の抵抗がいくつかを計算するときはこんな式で求めます。比例定数（抵抗率）をａ，断面積を○，長さを□としましょう。このとき、抵抗の大きさ△は， △＝ａ×□／○銅線が長いと、その分、抵抗も大きくなります。プールの中を歩いているようなものです。疲れますね。つまり、抵抗と長さは比例します。断面積は、入口です。デズニーランドのゲート、狭いですね。もっと広くすれば、大勢でスムーズに入場できるのに・・・これが断面積。断面積が広ければ、電流がどんどん流れ、抵抗は減ります。抵抗と断面積は、反比例の関係にあるのです。つまり、△と□は比例して、△と○は反比例しています。こんなわけで、ひとつの式の中なのに、比例と反比例がいっしょにいます。こうなると、定数は「比例定数」と呼んであげないと、ほかに呼びようがありません。☆ ●×▲＝■ の■が「比例定数」になっている関係、これが「反比例」です。●×▲＝２５ これが、さきほどの正方形でスタートした反比例を表す式です。移項して、 ▲＝２５÷●つまり▲＝２５／●これは、 「▲と１／●が比例して、比例定数が２５」と読むことができるのです。ちょっと無理っぽいですが、慣れれば簡単かも？☆逆比この反比例の一部を切り取ると、「逆比の関係」が出てきます。反比例と逆比は、このようにリンクしています。比例と比も、同じようにリンクしています。この逆比、実はきみが知らない間に、すでに体験しているはず。なかでも、有名なのが、時間と速さの関係です。（つづく）
2005.07.15
コメント(0)
-
数の動きって？ その２９
☆マックの教育雑感こどもたちは、聞いてほしいのです。大人のお説教なんて、真っ平です。学校でお説教され、家に帰ってきたら、また説教され・・・これでは、こどもたちの居場所がなくなります。だから、静かに聞いてあげるのです。ミヒャエル・エンデの「モモ」にも、そういうシーンがありました。喧嘩していた２人が、モモにそれぞれ言い分を聞いてもらいます。でも、モモはただ黙って聴いているだけ・・・そのうち、２人は争うことの無意味さを覚るというシーンです。話を聞いてもらえれば、自ずと答えが見つかってきます。こどもたちは、そのようにして、自分で答えを出そうとしているのです。それを遮って、大人が話し始めると、こどもたちの心は閉じます。そう・・・人って、聞いてもらうだけでいいっていうときが、あります。こどもたちも、自分の話を聞いてほしいのです。あなたは、モモのように、少しも評価や判断を加えずに、ひたすら耳を傾けるのです。ここが、がまんのしどころです。こどもたちは、話してしまえば、何が問題なのか自分で判断します。あなたがこどもだった頃を思い出してみてください。きっと、そういうときが、あったはず・・・こどもたちを信じてあげましょう。■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□Ｒくん、鉛筆をもって、ノートに書き始めました。ｇｃｄ（９１８，２０４０）＝ｇｃｄ（９１８，２０４０－９１８）＝ｇｃｄ（９１８，２０４０－９１８）＝ｇｃｄ（９１８，１１２２）「あれ？右の方がまだ多い」＝ｇｃｄ（９１８，１１２２－９１８）＝ｇｃｄ（９１８，２０４）「マック先生！９１８を２倍して、２０４０－１８３６ にした方がよかったのかな？」そのとおり。でも、自分で試したから、それが分かったんだね。「よし、それじゃ、つぎは ２０４ を４倍して ８１６ だから・・・」＝ｇｃｄ（９１８－８１６，２０４）＝ｇｃｄ（１０２，２０４）「１０２ は２倍できるぞ、あれれ・・・」＝ｇｃｄ（１０２，２０４－２０４）＝ｇｃｄ（１０２，０）「最大公約数は １０２ かな？」正解！(^.^)ところで、最小公倍数も、大名行列の計算方法（すだれ算と言ってる人が多いよ。）で、すぐ出てくる。２ │ １２ １８ └─────３ │ ６ ９ └───── ２ ３たての公約数の成分になる２と３最後に残っている２と３これらを全部かけあわせると、３６ になってるね。または、ｇｃｄ（１２，１８）×ｌｃｍ（１２，１８）＝１２×１８を使って、６×ｌｃｍ（１２，１８）＝１２×１８ｌｃｍ（１２，１８）＝１２×１８÷６ ＝３６こんな出し方もできちゃうよ(^.^)※７月１２日の日記に、この公式はあります。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２９「比」が結びつけてくれる３つの計算のお話です。６÷５こんなわり算があるとします。これは、分数で表現すれば６／５つぎに、比の値、これは現在の小学校の教科書から消えてしまいましたが、６：５の比の値は ６／５ です。どっちにしても、中２の４月になったら、比の値の話がすぐ出てきます。それも、さりげなく・・・なので、多くのこどもたちは、わり算と、分数と、比がリンクしていることに気がつきません(-_-;)素通りしてしまいます。だから、高校生の数学でも、「比の値」が出てくるのですが、「えっ！比の値ってなーに？」と質問する高校生が後をたちません頭にガーーンと衝撃波が来ますが、これが実態です(-_-;)話を戻します・・・・・６÷５＝６／５で ６：５の比の値は ６／５つまり、６÷５＝６／５（分数）＝６／５（比の値）この３つは、同じことを言っています。☆中学２年になったら、化学で「質量保存の法則」を学びます。いま、小学校の子は、そのときになったら思い出してください。銅と酸素は１６ｇと４ｇの割合でくっつくというのです。酸素がくっつくのは「酸化」ですね。銅の粉末を加熱すれば、酸化銅というのができます。このとき、酸化銅は２０ｇになる！これが、「質量保存の法則」です。小学生なら、「保存の法則」が出てきます。こんな形で、あっという間に分かります。まず、重さ２０ｇの粘土を、（あ）と（い）の２個を用意してください。（あ）の粘土を、１６ｇと４ｇの２つに分けます。形は自由！好きなように練ってくださいね。２個の部分に分かれても、またいっしょにすれば、２０ｇにもどります。１６ｇ＋４ｇ＝２０ｇこれが「保存の法則」です。中学生のお兄さん、お姉さんは、粘土の代わりに銅や酸素を使います。でも、「保存の法則」は同じ！☆中学校の理科の授業を見学してみよう！夏休み前なので、時間に余裕があるという子向けです。お兄さん、お姉さんたちの問題を、のぞいてみましょう。試験では、比の問題として出てきます。［化学計算問題］銅の粉末１６ｇを加熱したら、酸化銅が２０ｇできました。次の問いに答えなさい。１．銅と酸素は（ ）：（ ）の比で反応します。 （ ）の中に、最も簡単な整数を入れなさい。２．銅２０ｇがすべて酸化銅になったとすると、 酸化銅は何ｇできますか？比や、グラフの好きな子は比例関数で解けば、あっという間に解けてしまいます。答えは １ ⇒ １６：４＝４：１２ ⇒ １６：２０＝２０：（ ）から ４：５＝２０：（ ） ４×（ ）＝１００ （ ）＝２５ｇ小学校で学ぶ割合や比は、中学生になったら、このように使います。だから、割合や比は小学生のうちに、きちんとマスターしておきましょうね。中学校では、小学生でやったでしょ！ということで、割合や比は、教えてくれません・・・。（つづく）
2005.07.14
コメント(0)
-
数の動きって？ その２８
☆マックの教育雑感「こどもは、ふだん親に言われているようなこどもになる！」という法則をごぞんじですか？「なに、この点は？ ちゃんと勉強したの？ こんな成績じゃ、しょうがないじゃないの！」こう言われ続けると、ほんとに「しょうがない」こどもになっていきます。そして、どうしようもない人間に成長していきます。忠実に、親御さんが言った通りの人間になっていくのです。お子さんの性格、行動などで良い点をたくさん見つけてあげましょう。できれば、紙に書き出して・・・あなたの誕生日に、何かプレゼントしてくれませんでしたか？あなたが病気のとき、お手伝いしてくれませんでしたか？あなたが悲しいとき、そばにきて慰めてくれませんでしたか？いくつ見つかりましたか？たくさん、見つけてくださいね。そして、こどもの良い点に注目するのです。こどもを心の底から誉めてあげましょう。自信を持たせてあげるのです。テストでも、よくできたところを誉めてあげます。できなかったところは・・・けなしてはなりません。こどもたちも、がんばっているのですから。対策をいっしょになって考えてあげることが大切です。もう一度、言います。こどもは、親に言われたとおりの人間になっていきます(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□Ｒくんに、こんな問題を出した、というところからです。［練習問題］９１８ と ２０４０ の最大公約数はいくつですか？Ｒくん！この問題を解くのに、すだれ算でもいいけれど、次のようなやり方があるんだ。１２と１８の最大公約数で実験するよ。ｇｃｄ（１２，１８）＝ｇｃｄ（１２，１８－１２）＝ｇｃｄ（１２，６）Ｒくんに、つぎのような長方形を画用紙に描いてもらいました。イメージとしては、タテ １２ｃｍヨコ １８ｃｍの長方形から、最も大きい正方形を切り取ると、タテ １２ｃｍヨコ ６ｃｍの長方形になったね。つぎに行くよ！タテ １２ｃｍヨコ ６ｃｍから、最大の正方形を切り抜いて！タテ ６ｃｍヨコ ６ｃｍこれを式で表せば、ｇｃｄ（１２，１８）＝ｇｃｄ（１２，６）＝ｇｃｄ（１２－６，６）＝ｇｃｄ（６，６）これは偶然、正方形になって残ったね。仕上げにｇｃｄ（１２，１８）＝ｇｃｄ（１２，６）＝ｇｃｄ（６，６）＝ｇｃｄ（６，６－６）＝ｇｃｄ（６，０）この形、どちらかが０になったらストップ。そして、これをｇｃｄ（６，０）＝６と表す。「これで、最大公約数が見つかるっていうこと？」そうだよ。３と５の最大公約数なら、どうなるかな？「ｇｃｄ（３，５）＝ｇｃｄ（３，２） ＝ｇｃｄ（１，２） ＝ｇｃｄ（１，０） ということは、１だよね」正解！３と５は互いに素だから、最大公約数が１になっているね(^.^)それじゃ、いよいよ、練習問題にとりかかろう。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２８でも、これに慣れてきたら、公式としてａ：ｂの比例配分は ａ／（ａ＋ｂ）：ｂ／（ａ＋ｂ） を適用すればいいことがわかってきます。●：■＝５：３ならば、右辺を同じ数で割ることができるので、●：■＝５／８：３／８これは、１を５／８と３／８に分ける！ということです。●＋■＝２４ なので、２４倍する！と考えるわけですね。まとめてみると、「２４個のおはじきを１５個と９個に分ける」というのは、実際の世界の話。「１を５／８と３／８に分ける」というのは、割合の世界の話。どちらも、「比」というメガネをかけて見れば、５：３となって、同じことを言っているのです(^.^)そして、この「比」は、つぎの３つの計算を結びつけてくれる接着剤のボンドのような働きもします。（つづく）
2005.07.13
コメント(0)
-
数の動きって？ その２７
☆マックの教育雑感Ｒくんは以前にも触れましたが、中学２年生です。これまで算数や数学の世界から逃げていました。マックの塾にやって来て、今、相当なスピードで小学校からの遅れを取り戻し中です。マックも、初めのうちは相当に不安でした。かけ算もしっかりと覚えていない・・・・・でも、こどもって、養分をあげれば、すくすくと伸びるものです(^.^)ここにきて、連立方程式の文章問題にもチャレンジできるまでに成長しました。まだ、計算が多少あやしかったりしますが、考え方は、かなり論理的になってきました。どんな子も、限りない可能性を秘めています。こどもたちを信じてあげること・・・大人はすぐに成果を求めます。しかし、待つことも大切です。でも、ただ待つだけでなく、その間、しっかりと養分を与え続けることが大人のすべきこと、してあげられることです。そんなことを考えながら、Ｒくん用の魔法の教材をつくっています(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□１２と１８の最大公約数が６であることをｇｃｄ（１２，１８）＝６と表しました。すると、１２と１８は、それぞれこんな表し方もできるね。１２＝ｇｃｄ（１２，１８）×２１８＝ｇｃｄ（１２，１８）×３ここで、２と３は互いに素、つまりｇｃｄ（２，３）＝１つまり、６の倍数であって、このほかに、２と３という素数をもっている最小の数は６×２×３＝３６こうして１２と１８の最小公倍数（ＬＣＭ）はｌｃｍ（１２，１８）＝ｇｃｄ（１２，１８）×２×３＝６×６＝３６という風に出てくるね(^.^)ここで、おもしろい実験をしてみよう。ｇｃｄ（１２，１８）×ｌｃｍ（１２，１８）＝６×３６＝６×６×６＝６×６×２×３＝６×２×６×３＝１２×１８最大公約数と最小公倍数をかけたら・・・「もとの１２と１８という数の積にもどってしまった！」Ｒくんは、またまた不思議そうに、この結果を見ています。☆中学生向けに、文字で証明しておきましょう。Ａ＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａＢ＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｂａとｂは互いに素するとｌｃｍ（Ａ，Ｂ）＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｂこうしてｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｌｃｍ（Ａ，Ｂ）＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｂ＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｂ＝Ａ×Ｂもうひとつ、実験！その前に、こんな問題、きみならどうする？［練習問題］９１８ と ２０４０ の最大公約数はいくつですか？なんだか大きな数だね(^.^)（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２７「おはじきが２４個あります。これを姉と妹で５：３に分けました。姉はいくつ取ったでしょうか？」内項どうしの積＝外項どうしの積の考え方では、もうお手上げです。この問題、比例配分を使えば一発です。魔法の式からスタートしてみましょう。●×▲＝■（ ）：（ ）＝５：３（ ）どうしは、単位が同じなので、●と■でおきかえてみます。●：■＝５：３●：■＝１：３／５この３／５が魔法のつえ▲です。すると、●×３／５＝■ということは、●＋■＝２４ なので、●＋●×３／５＝２４●×（１＋３／５）＝２４●×８／５＝２４●＝２４÷８／５●＝２４×５／８●＝１５答え １５個このようになります。これで、魔法の式と「比例配分」がリンクしましたね。「比例配分」は「分数」の考え方でもかまいません。●＝２４×５／８の５／８に注目してください。分母の８という数字は ５＋３分子は そのうちの ５つまり、５：３ということは一番小さな数で考えれば、姉５個、妹３個に分けるということ。全体が８個しかなければ、８個を５個と３個に分けるということですね。これを分数に転換します。１個ならば５／８個 と ３／８個 に分ける。２４個なら、２４×５／８個 と ２４×３／８個 に分ける。ポイントは「１個を分ける」という考え方です。（つづく）
2005.07.12
コメント(0)
-
数の動きって？ その２６
■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□「互いに素？」・・・マークがいっぱいついたＲくん。たとえば、素数、素数同士のペアになっている ２と３これは共通の約数（公約数）が１しかないね。つまり、最大公約数が１になっている。公約数の中で、一番でかいのが、最大公約数（GCD）だよ。ｇｃｄ（２，３）＝１こんな風に表したりもするけれどね。これを「互いに素」と言うんだよ。２と６ これは、最大公約数が２だから、「互いに素」になっていない。ｇｃｄ（２，６）＝２だね。ところで、最大公約数（GCD）の求め方だけれど、１２と１８の最大公約数はいくつ？分からなかったら、それぞれを素数で表してみて。できるだけ小さな素数で割っていくのが、コツ(^.^)「１２は、２で割れる・・・６になった・・・」Ｒくん、それでおしまい？「６はまだ２で割れる・・・３になった。これ以上は無理。」できたら、つぎは１８も素数に分解してみよう。まとめると、１２＝２×２×３１８＝２×３×３１２の約数から、みてみよう。１２は素数の種類で言えば、２と３でできている。このことを１２の約数⇒（あ）×（い）と表そう。（あ）に入る数の候補は、１か２か４（い）に入る数の候補は、１か３「１が入るのは、なぜ？」約数を考えるのだから、１にも立候補してもらう必要がある。逆に、この１がないと、約数１が出てこない(-_-;)「４が出ているのは、なぜ？」４は、２のファミリーだよ。 ２×２＝４ だからね。（あ）は、２のファミリー で １か２か４（い）は、３のファミリー で １か３「めんどうだね。」確かに、ね。だけれど、この考え方は、後できっと役に立つ。いいかい、見ていて！１２⇒（２のファミリー）×（３のファミリー）１２の約数は、こんな形で表せる。さっそく、（あ）に数字を入れてみよう。１２の約数⇒１×（３のファミリー）１２の約数⇒２×（３のファミリー）１２の約数⇒４×（３のファミリー）次に、（い）にも数字を入れてみよう。 １×１＝１１２の約数⇒１×（３のファミリー）は １×３＝３ ２×１＝２１２の約数⇒２×（３のファミリー） ２×３＝６ ４×１＝４１２の約数⇒４×（３のファミリー） ４×３＝１２「全部で約数は６こ出てきたね。」数え上げているＲくんに、こんな式を書いてもらいました。１２＝１×１２１２＝２×６１２＝３×４だから、１２の約数は １，２，３，４，６，１２こうやると、簡単に約数が出てくるね。でも、これだけだと、応用につながっていかない。ファミリーのやり方に慣れておいてね。これから、いろいろなところで、このやり方にお目にかかるよ。１２＝（２のファミリー）×（３のファミリー）共通の約数、公約数に戻るよ。。１２＝２×２×３１８＝２×３×３共通の素数の組に注目！２と３が１つずつだね。すると、公約数は・・・１２と１８の公約数⇒（２のファミリー）×（３のファミリー）（２のファミリー）は、１か２（３のファミリー）は、１か３ １×１＝１１×（３のファミリー） １×３＝３ ２×１＝２２×（３のファミリー） ２×３＝６１，２，３，６ の４つ出てきたね。「これが公約数なんだね。」そう。そして、この中で一番大きな公約数、それを最大公約数（GCD）と言うんだ。ｇｃｄ（１２，１８）＝６この求め方を「下に下に」とやっていく方法に慣れた方が便利。大名行列ではないけれど、とにかく共通の素数で同時に割っていく方法が速いよ。 ２ │ １２ １８ └───── ３ │ ６ ９ └───── ２ ３１２＝２×２×３１８＝２×３×３と比べてみよう。「同時にできる！」Ｒくんは感激しています。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２６魔女●と、クララ■の単位をそろえる！これが式を立てるときに、大きな助けになります。式を立てたら、チェックすること！そのリトマス試験紙が魔女●と、クララ■の単位をそろえる！ということなのです。では、ここで、少し前に戻ってみましょう。「比」があります。６年生で、「比例」の手前で習います。この「比」の正体は、何でしょう？「比」は「割合」にとても近い思考法なのです。例えば、「姉リスは１５個のクルミを拾いました。妹リスが拾ったクルミの数と比べると、姉リスと妹リスは ３：２ になっていました。では、妹リスは一体、いくつクルミを拾いましたか？」こどもたちの立場に立って、考えてみましょう。１５個：（ ）個＝３：２単位が同じなら、それは魔女●とクララ■●：■＝３：２こんなかたちで、魔法の式が見えてきました。すると、●は１単位のことだから●：■＝３／３：２／３＝１：２／３つまり、▲は「２／３倍」ということが見えてきますね。▲は２／３倍です。まとめてみましょう。● １５個▲ ２／３倍■ 妹リスは何個じゅもんをとなえて、●×▲＝■１５個×２／３倍＝１０個こうして、「比」も魔法の式とリンクしていることがわかります。この解法は、ほとんどの公立小学校では、おそらく教えていないと思います。しかし、マックの知っている名門と呼ばれている私立小学校では、教えています。この私立小学校で使っている問題集に、このやり方が出ていました。これを、１５個：（ ）個＝３：２内項どうしの積＝外項どうしの積としか教えてもらっていないと、応用力がつかないのです。その例は、次回に取り上げます。（つづく）
2005.07.11
コメント(0)
-
数の動きって？ その２５
☆マックの教育雑感「問題を解く力」の話を続けます。夏休みバージョンです(^.^)もうじき、夏休み。 SUMMER VACATION！と、浮かれてばかりもいられません。受験生にとっては、力を伸ばすチャンスです。このように、いくらでも勉強できる余裕のある時は、受験まで、二度とありません。また、ニガテを克服するチャンスです。これを逃したら、秋以降、かなり焦りますよ。どこをどう伸ばし、弱点をどう補強するか？事前に計画を立てておきましょう。できれば、ローテーションでやった方が偏らないので、ベターです。そして、１週間に１日は遊びまくるとか、めりはりをつけて過ごすのが、コツ。それぞれに、成果をつかんで欲しいものですね。量稽古もやりましょう。これまで学んだことを実際の受験問題で、おさらいします。やれる子は、実際の入試問題集で力を試すのです。中学生の子なら、県立や中堅私立レベルの入試問題をかたっぱしから解いていく・・・これを量稽古と言います。説明を聞いたり、授業を受けただけでは、問題を解く力は身につきません。量稽古こそが、問題を解く力をつけてくれるのです。自分の力でどこまで解ける？もし、難しく感じたなら、もう少しやさしいレベルに戻って、問題を解いていきましょう。特に、テキストや資料を読むと分かったつもりになってしまう社会や理科は、要注意。実際に問題を解いてみないと、自分の力が測れません。その際、マックは、１枚シートをつくるように、子供たちに言っています。エッセンスだけを１枚のシートに書いていきます。問題を解いて、分からなかったり、あやふやだったりしたことだけをノートに書いていきます。（何でもかんでも書くのは、時間のムダです。）ノートは見開きで、１枚のシートです。社会や理科は、このシートを何枚かつくります。図やグラフは、コピーを貼ってもかまいません。こんな作業ができるのも、夏休みだけと思っていてくださいね。秋以降は、このシートを徹底的に頭に入れる作業が待っていますよ(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□「最小公倍数の出し方は、もっと簡単にできないのかな？」とＲくんから質問がありました。この話をするには、素数から入っていった方が、一貫します。素数というと、とっつきにくい数、変わり者の数・・・そんなイメージを持つ子もいます。でも、よーく考えてみると、０と１を除いた整数は、素数か、素数でないか、どちらかになります。その素数、朝礼で並ぶとき、１列並びしかできません。つまり、素数を○とおくと、○＝１×○素数の中で一番小さいのが ２次に小さいのが ３そして ５，７，１１，１３，１７，１９，２３，…そのどれも、２＝１×２３＝１×３５＝１×５のようにしか、表せません。これを算数・数学の世界では、「素数とは、約数が１と自分自身の２つしかない整数のこと。」このように、表現しています。Ｒくん、こういう話は適当な数を入れてみると、イメージがわいてくるよ。「素数１１は、約数が１と１１の２つしかない。」「素数２３は、約数が１と２３の２つしかない。」どちらも、１列並び １×○ しかできないね。「マック先生、素数を使えば、どんな数でも表せるの？」素数は原色、素数でない数は合成色たとえて言えば、こんな感じ。「素数と素数を合わせると、素数でない数ができるの？」そうだよ。「合わせる」というのは「かける」という意味。２×３＝６これは、素数２と素数３をかけたら、６が生まれるということ。Ｒくんは何とか理解しようとしているのでしょう、目線が上を向いています(^.^)Ｒくん、６は１列以外にも並べるね。２と３をかけたら生まれるなら、その反対の分解もできる。６＝２×３☆では、６以外の数は、どうやってつくるのでしょう？２×２×３ のように、素数をいくつかけてもかまわない。１２＝２×２×３ 「２×２×２×３×３ なら （２×２×２）×（３×３） ＝８×９ で ７２」その調子。「２×２×２×２×２×２ なら （２×２×２）×（２×２×２） ＝８×８＝６４」このようにして素数を合成するとできる数が、合成数。逆に、合成数を分解していくと、最後に、素数の積（かけ算の形）になってしまう。これって、中学２年生以上の子は、「○○で見たのと、よく似ているな！」と気がつきます。理科の第一分野です。水の分子モデル ＨＨＯ Ｈ(２)Ｏ と書きますが。Ｈ（水素）分子とＯ（酸素）分子に電気分解できます(^.^)酸化銅ＣｕＯ なら、Ｃｕ（銅）原子とＯ（酸素）分子に分解できます。Ｈ、Ｏ、Ｃｕという原子が、まるで素数のように働いていますね。数の世界の「原子」、それが素数なのです。Ｒくんは、こういいます。「化学反応式は足し算だよ。でも、素数はかけ算！」高校生になって、指数や対数で詳しく学ぶ累乗の世界、中学生でもちょっぴり数字だけを使って指数を学習します。この累乗の世界に持ち込んでしまえば、かけ算は足し算のスタイルで表現できるよ。６＝２×３ から、両辺を対数化してlog６=log２＋log３これで、足し算になったね(^.^)「ちょっと、先に行き過ぎ」とＲくん、それでも、初めてみるＬＯＧという記号が気になるようです。指で、なぞっていました。もうひとつ、「互いに素」という考え方を説明しておこうね。これが分かると、「最大公約数と最小公倍数の積」というおもしろい？式が現れてくる。数って、不思議いっぱい・・・（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２５魔法の式●×▲＝■と「比例」をリンクさせましょう。比例関係を表す式は、つぎのようになります。（比例定数）×（変量１）＝（変量２）ここで、いつも変わらない魔女●の役目を果たしているのが、（比例定数）です。２つの式を並べてみましょう。魔法の式 ●×▲＝■比例関係 （比例定数）×（変量１）＝（変量２）リンクの関係は、こうです。● 比例定数▲ 変量１■ 変量２ですから、「１人に３個のキャンディをあげたとき」の魔法の比例式は●×▲＝■右辺と左辺を入れ替えて、■＝●×▲いま、 ●＝３個 なので、■＝３×▲なので、▲が１５人のとき、■＝３×１５＝４５まとめると、■＝●×▲■＝３×▲■＝３×１５と移り変わってくるわけです。ですから、比例定数である魔女を前に出して、３×１５＝４５単位つきでは、３個×１５人＝４５個ということになるのです。●と■の単位をそろえる、ということがポイントです。（つづく）
2005.07.10
コメント(0)
-
数の動きって？ その２４
☆マックの雑感コーナー学校の成績を上げるには、「習熟」が何よりも必要です。教育学でいう「マスタリー」です。どういうことかというと、限られた時間の中で得点しなければならない、ということなのです。そのためには、習得した知識の中から何を持ち出すか、即座に判断する必要があるのです。この瞬間の判断を養うために、「習熟」が必要・・・ピアノやソロバンと同じです。たとえば、「うちの子は英語ができなくて・・・」先生に恵まれていれば、その先生が「習熟」に必要なことを、毎回の授業でやってくれます。漢字なら、「書き取りテスト」算数なら、「小テスト」英語なら、「テキストの暗唱テスト」（中学生向けですが）こういう積み重ねが、マスタリーです。基礎力や理解力という土台の上に、さらに、この「マスタリー」があれば、その子の成績は上がります。これが、前回お伝えした「問題を解く力」になります。だから、学校の成績という観点からすると、ストップウォッチは必需品なのです。問題を解くときは、特に、テスト直前は、時間制限を設定しないと、その勉強、本番向きとは言えません(^.^)それにしても、本音ベースで言えば、成績は上がってほしいもの。過酷な受験レースは、大学受験まで続きます。このレース、功罪はあります。でも、名門といわれる学校は、そのデメリットを乗り越えるだけのたくましいこどもたちを欲しがっていることもまた、事実です。■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□□は、１２の倍数であることが分かりました。１２の倍数くんは、集合！□は １２，２４，３６，４８，６０ …あともう一息だよ。□は■－２のことだった。□は■より２だけ少ない。ということは■は １４，２６，３８，５０，６２ …問題の条件は １０～５０ までの数だったから、「ぼくが答えるよ。１４，２６，３６，５０ の４つ！」☆この変化形で、いじわる問題もあります。問題の条件を １～５０ にリセットしてみましょう。そうすると、 ［問題］３で割っても４で割っても２余る数は、１～５０までの間にいくつありますか？入試では、こんなワナをしかけてきます。３で割っても４で割っても２余る数には２もあるのです。２＝３×０＋２ ２＝４×０＋２確かに、余りは２になりますね。これが、入試に出てくる典型的なワナ。１～５０と条件を変えただけで、とたんに問題は、倍数だけでは済まなくなります。わり算の第２の表し方のほうが、汎用性があるということですね(^.^)（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２４「中学数学の花形になる○○に、比例の考え方がしっかりと入ってきます。」の○○の答えは ・ ・ ・「関数」です。●×▲＝■● → ａ▲ → ｘ■ → ｙとすると、 ａｘ＝ｙつまり、 ｙ＝ａｘになります。魔法の式は、関数にもなります。これは「比例」という単元で習いますね。２つの変数が出てくるので、こどもたちは「ハッ」とします。いままでの考え方と ち・が・う 世界２変量の世界に入っていくのです。もちろん、無意識のうちに、この２変量の世界は経験しているはず！それが、自動販売機の考え方なのです。（１，３）（２，６）（３，９）これは、１人に３個のキャンディをあげたときの人数とキャンディという２つの変数の関係です。人数とキャンディの関係は「人数を３倍すれば、キャンディの数が出てくる！」という、まさしく、比例の考え方です。ここで、こどもの数が１５人になったときのことを考えると、（１５， ？ ）それで、１５×３＝４５これでもいいのですが、場合によって「×」になります。また、このストレートな考え方は、こどもたちには混乱のもとになります。（つづく）
2005.07.09
コメント(1)
-
数の動きって？ その２３
☆バーバリズムになってません？認知心理学に「バーバリズム」という言葉があります。マックなりに解釈してみると、テレビがなぜ映るのか理論を知らなくても、リモコン操作一発でテレビが見える、というもの。算数や数学の場合は、公式を理解はしていないけれど、暗記しているので、当てはめてみたら、正解にたどりつけた！というもの。バーバリズム・・・野蛮ということです。実生活では、自分の専門分野でない限り、バーバリズムＯＫです。ところが、勉強となると、困った事態に陥るケースが多くなります。九九や約数、倍数、十進法、小数、分数は、バーバリズムでとりあえず一気に進み、その後にひとつずつ理解していくというやり方もあります。このやり方は、基礎力をつけるという意味では有用です。しかし、問題が抽象化していくと、このやり方では通用しなくなります。理解できないので、こどもたちは学習を嫌がるようになります。大人だって、興味もなく、理解も困難なことをやれと言われたら、げんなりします。逃げ出したくもなりますね。受験の世界でも、数学は暗記だ～という人もいます。しかし、これもレベルの問題で、万人にあてはまるルールとは、思えません。何でもかんでも、公式にあてはめてみる・・・それで答えが出てくればラッキーなのですが、そういう「バーバリズム」派に都合のいい問題は、そうそう出てくるわけではありません。「バーバリズム」の勉強法は、応用が利かないというのが、認知心理学の通説です。これは、マックにも覚えがあります。一夜漬けで暗記したものは、忘れるのが速い、そして、応用ができない・・・。基礎力＋理解力＋問題を解く力この３つがバランスしないと、得点できず、その結果、評価「５」は取れません。また、この３つがそろっていると、学習が楽しくなります。やればやるほど、点が上がるからです(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□Ｒくん、こんな問題、どう？［問題］３で割っても４で割っても２余る数は、１０～５０までの間にいくつありますか？「これは・・・。ヒントは？」さっそく、つまづいているようです。文章を２つに直します。３で割って２余る数４で割って２余る数この数を■としましょう。■－２ とすると、「あっ！ ■－２ は３と４で割り切れる！」Ｒくんが、元気に答えてくれました。割る数が３の方の式をつくってみるね。■－２＝３×▲４の方は、Ｒくんに任せたよ。Ｒくんのノートには、■－２＝４×▲と書かれました。うん、分かってきたな(^.^)「３で割り切れて、４でも割り切れるって、これって、どういうことなのかなー？」ちょっと困った顔をして、Ｒくんはノートの式をじっと見ています。最小公倍数は、覚えている？「忘れた。」３の倍数をどんどん書いていく。そのまま続けると、永遠に続くから、適当に止める。３，６，９，１２，１５，１８，２１，２４，２７，３０，３３，３６，３９，４２，「マック先生、こんなところでいい？疲れたよ。」いいよー。それじゃ、４の倍数も、書いていこう。４，８，１２，１６，２０，２４，２８，３２，３６，４０，共通の数は、どこにある？「１２ と ２４ と ・・・３６！」この数たちは、何の倍数になっているかい？「・・・１２のば・い・す・う。１２の倍数だ！」これが３と４の共通の倍数、つまり、公倍数だ。その中で、一番小さい数が、最小公倍数。すると、３と４の最小公倍数は「１２だね。」とにっこり。なかなか、回転が速くなってきました(^.^)こどもたちの中には、「最大公倍数」なんて言う子もいます。倍数は無限、どこまでいっても終わりがありません。ネバー・エンディング・ストーリー です。最大公倍数は・・・見つけられません。きっと、宇宙の果てまでいっても、見つかりません。もう一度、式にもどってみよう。■－２＝３×▲■－２＝４×▲左辺は仮に□としておくよ。□＝３×▲□＝４×▲３で割って割り切れたら、□は３の倍数だ。３で割って割り切れたら、□は４の倍数でもある。いいかい。だから、□は３の倍数であり、４の倍数でもある。「そのどちらの性質も持っているんだね。」そう。だから、１２の倍数でなければならない。３の倍数くんは、集合！４の倍数くんも集合。どちらにも入る子だけ、こっちへ来て！それが１２の倍数。☆まとめ ３で割り切れる数□とは、３の倍数のこと。 ４で割り切れる数□とは、４の倍数のこと。 □＝３×▲ □＝４×▲次回は、問題の後半へ進みます(^.^)（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２３先を急いでいますが、どうも、６年生で学ぶ「比例」の考え方が、簡単そうに見えて、実は意外と奥が深いといいますか、中学数学の大きな部分をしめているのです。なので、「比例」がしっかりしていないと、土台の弱い家と同じで、自信もぐらぐらと揺れます。「中学数学の花形になる○○に、比例の考え方がしっかりと入ってきます。」でも、スタートは、魔法の式●×▲＝■であることに変わりはありません。○○に何という文字が入るのでしょう？ヒントは２文字、です(^.^)（つづく）☆かなりショックな町内のお知らせが届きました。きのうの落雷で、ご近所のお母様とお嬢さんが亡くなりました。犬の散歩の途中でした。高い木の下で雨宿りしていたそうです。決して、雷を油断してはなりません・・・この場をお借りして、心よりご冥福をお祈りいたします。
2005.07.08
コメント(1)
-
数の動きって？ その２２
きょうは七夕ですが、湘南地方は夕方にいきなり雷＋大雨に見舞われ、ついでに雹も降ってきました。ご近所の平塚の七夕、だいじょうぶでしょうか？ちょうど妻といっしょに車で外出していました。前方が大雨で一瞬見えなくなり、やばい！と思いましたが、なんとか無事でした(^.^)しかし、家に着いてみると・・・開けていった窓から雨が～こうして、二人して、家中を拭いて回るはめになりました。こういう季節の外出は、難しいものです(-_-;)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□今回は、Ｒくんに「森のなかまたち」をいくつか教えました。すべては、魔法の式●×▲＝■から発展したものです。数と計算篇では、きょうは、わり算の式の表し方を勉強(^.^)たとえば、「２３を５で割ったときの式の表し方」には、２つあります。１つめは、２３÷５＝４ … ３だれでも知っています。じゃあ、２つめは、 ・ ・ ・Ｒくん、考えています。 ・ ・ ・「２０を５で割ると、答えも入れて、どういう式になる？」そう、マックがたずねると、Ｒくんはノートにこう書きました。２０÷５＝４「その式は、どこかでみたね」「■÷▲＝● とか ■÷●＝▲ かな？」Ｒくんが答えます。「そのとおり！すると、あまりが０のとき、式は２０＝５×４にも表せる。」「でも、それじゃ、かけ算だよ。」よし、それじゃ、こういう風に考えよう。ある数■を●で割ったとしよう。その結果▲という答えが出て割り切れた。すると、この式は■＝●×▲になる。２０＝５×４ 「なんか、だまされたみたい！」では、余りが０でないときを考えよう。２３÷５＝４ … ３２３だから３だけ余りが出る。 も し最初に、２３から３を引いておいてあげれば、（２３－３）これは、５で割り切れるね。だから、 （２３－３）÷５＝４ ■÷●＝▲５を移項して ２３－３＝５×４ ■＝●×▲つぎに、－３を移項して ２３＝５×４＋３これが２つめの「わり算の表し方」！☆この表し方に慣れると、算数や数学のレパートリーが ずっとずっと、と広がります。次回は、２つめのわり算の式の表し方の練習問題をやりますね。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２２魔法の式●×▲＝■この登場人物？をおさらいします。● 魔女のモニカ▲ 魔法のつえ■ クララという名前の女の子●と■頭文字だけで表すと● モ▲ 魔法のつえ■ ク▲を割合にします。● モとになる量▲ 魔法のつえ■ クらべられる量こうして、魔法の式は「割合」とリンクします。●×▲＝■（もとになる量）×（割合）＝（比べられる量）割合は、▲なので、何倍？ということと同じ、算数の問題は、これで押し通して、ほぼ問題ありません。☆ただ１点、「比」を除いては！☆でも、これも、ほとんど無視できますから、安心してください。大切なのは、魔法の式●×▲＝■たとえば、（１）３５人の２割は？３５人を●２割、つまり０．２を▲として、３５人×０．２倍＝７人●と■が同じ単位になっていますね(^.^)（２）濃さが５％の食塩水が８０ｇあります。食塩の重さは？食塩水８０ｇを●濃さ５％、つまり０．０５を▲として、８０ｇ×０．０５倍＝４ｇこうして、魔法の式がそのまま使えます。この割合の問題を解くときには、魔法のつえ▲が見つけやすいので、▲は → （ ）倍ここからスタートします。ですから、「割合」の問題の方が取り組みやすいはずなのですが・・・２つがリンクされていないので、なんともはや・・・「割合」と聞くと、寒気を覚える子が多いようです。次回は、いよいよ「比例」の謎へと進みます。また、単位あたり量や割合に戻ってきますから、ご安心を(^.^)（つづく）
2005.07.07
コメント(1)
-
数の動きって？ その２１
☆なんか、きょうは「経済学」の話からスタートすることになってしまいました。愛娘のカオリンから、円高と輸出の関係について聞かれたのです。そのため、きょうの日記は長いです(-_-;)いつも長いのですが、きょうはさらに長くなります。さて、これはシンプルに考えれば、比の問題ですね(^.^)それで、日記に書いておくことにしました。通貨の交換レートの問題、中学入試にも時おり出てきますね。例を挙げてみましょう。１ドル １５０円が１ドル １００円になったら円高。円の価値が上がるのを「円高」というのですね。１ドルのものが１００円で買えるから、輸入している人は得をします。逆に、米国からみると、１ドル出せば、１５０円分の日本製品が手に入れられたのに、今では１ドルで１００円分しか手に入りません。だから、当然ですが「円高」は「ドル安」のこと。彼らがもとの１５０円分の日本製品を手に入れるには、ドルはいくら必要になるでしょう？１ドル：（ ）ドル＝１００円：１５０円という比の問題を解けばいいのです。答えは１．５ドル。つまり、１．５ドル出さないと、１５０円分の製品がゲットできません。これじゃあ、価格が上がったことになります。すると、日本製品の売れ行きは鈍ります。値段が上がれば、買い手は減りますので。こうして、「比」の問題を解けば、円高は輸出に不利にはたらくという結論が出てきます。☆これで終わりかと思ったら、まだありました。インフレのときは、お金を持っていた方がいいのかどうか？というのが、２つめの質問です。自分で考えて、と言いたいところですが、カオリンの訴えるかけるような眼差しに負けて、ついつい答えるマックでした(-_-;)インフレはお金の価値がなくなるということ。１個１００円の商品が１万円になったりします。だから、インフレのときは、「現金」よりも「もの」です。そういえば、ハイパーインフレが起こって、お札で暖をとったという寒い国の話もありましたね。戦後のドイツ、日本などもインフレに悩まされました。トランクにお札を詰め込んで、買い物に出かけるわけです。いまどきは信用経済なので、こういうトランクの話はありませんが、それにしても、インフレの時代はやってくるのでしょうか？デフレ時は、お金で持っていた方がいいわけです。デフレスパイラルで、お金の価値はどんどん上がります。下手に資産を所有してしまうと、ものの価値は下がる一方なので、大損します。これから・・・どっちに行くのでしょうか？金利は低く張り付いたまま。将来の年金問題、高齢化・少子化の問題もあります。不動産は一部、外国マネーが入って、景気のいい話も聞こえてきますが、昔のように、不動産を持っていれば誰でも儲かるという時代ではなくなりました。資本主義経済システムの怖いところは、極端に走る、ということです。そして、予測がほぼ不可能。事前に政府がコントロールすることは、できます。しかし、コントロールにも限界はあります。「加速度原理」・・・なんじゃ、そりゃ？とカオリン。名前を聞くだに恐ろしい・・・法則が、私たちの経済の根底にはあるのです。景気がよくなると、どんどん良くなる一方。逆に、悪くなればなったで、もう誰にも止められない！そんな法則が「加速度原理」です。きみはもう高校生だから、分かるかもしれないが、微分か差分方程式、それと、無限等比級数を使えば、簡単に証明できます。こんな危うい土台の上に、資本主義経済は乗っかっているのです。土地の値段も４分の１、５分の１に下がりました。でも、ほんとにこれで終わり？アメリカは、なぜか好景気が続いています。日本の富が、アメリカに行ってしまったの？と、ここまで話をして、カオリンへのレクチャーは終わりました(^.^)経済がこの先どうなるか、分かりません。しかし、一歩先を行かないと、成功者にはなれません。ヒントはどこにあるのでしょうか？■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□［問題１］行きは時速４ｋｍ、帰りは時速６ｋｍの速さで歩いたときの、平均の速さは時速何ｋｍ？＜第２の方法＞マックは、比較的ずるいです(^.^)できるだけ、手抜きの計算をします。きょりを１にしないで、適当な数をもってきます。そのときに便利なのが、最小公倍数。４と６という数をみると、この２つの数字のどちらでも、割り切れる数って何かな？そんなことを、すぐに考えてしまいます(^.^)４＝２×２６＝２×３最小公倍数は ２×２×３☆ここで、中学生のための重要公式です。２つの数Ａ、Ｂがあって、最大公約数がｐのとき、Ａ＝ａ×ｐＢ＝ｂ×ｐと表せるものとします。ということは、ａとｂとは互いに素、です。このとき、Ａ、Ｂの最小公倍数ｑはｑ＝ａ×ｂ×ｐつまり、４と６の最小公倍数は １２ です。☆素数や合成数、約数、倍数の話は、 算数でも必要なので、後日、まとめてやりますね。ならば、片道のきょりを １２ｋｍとりあえず、こう決めてしまいます。すると、行きは １２ｋｍ÷４ｋｍ／時＝３時間帰りは １２ｋｍ÷６ｋｍ／時＝２時間往復の平均の速さは２４ｋｍ÷（３＋２）時間＝４．８ｋｍ／時こういう計算は、ときどき出てきます。私立中学校で人気の「比の問題」は、この「ずるい計算」で解くと、速く解けますよ。☆単位のところは、重点的にＲくんに説明しました。小学生は、知らなくても平気です。☆分数と単位の概念がしっかりしている子には、 この単位の変化も説明していますが・・・。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２１魔法の式●×▲＝■の説明は、学校では５年生になってから・・・「単位あたり量」という単元で習います。十分に時間をかけたいところですが、あっという間に終わります。この「単位あたり量」を征するこどもたちは算数で圧倒的なパワーを手にします。しかし、大半のこどもたちは、消化不良を起こします。「単位あたり量」だけで？？？のところに、その後、すぐに 「割合」が出てきます。さあ、大変。消化不良がさらに進みます。なぜでしょう？ そ れ は「単位あたり量」と「割合」がリンクされていないからです。こどもたちには、その２つが ち が う も のに受け取れてしまいます。単元がちがうからです。それに、２つをリンクさせるとちょっとややこしい問題が発生します。そのお話は、後日に・・・それで、マックはこの２つをリンクして、こどもたちに教えています(^.^)中学生までは、特に問題は起こりません。受験算数にも必須です。ならば、リンクしましょう！●×▲＝■ にすべてが入っています。 だ か ら魔法の式なのです(^.^)（つづく）ほんとに、きょうの日記は長かった・・・
2005.07.06
コメント(0)
-
数の動きって？ その２０
メールマガジン、私は１００近く登録しています。仕事の関係で読むことが多いのですが・・・。情報を発信すると、それ以上に多くの情報が集まってくるという法則があるようです。多くのメルマガ発行人の方とも知り合える！このことが一番刺激的でした。Ｈ師匠のこのメルマガの編集をしていた際も、随分と多くの発行者の方からアドバイスを受けたり、秘訣を聞けたりと、さまざまなやり取りがありました。楽天広場も、情報発信という点で考えると、かなりメルマガに性格が近いと思います。しかし、メルマガに比べると、読み手が動き、お目当てのページに行かなくてはならず、この点が不便です。メリット、デメリットのどちらもあります。結局、どちらのスタイルも捨てがたいといったところです。マックも、現在、算数メルマガを出そうかと計画しています。算数は不人気な科目の筆頭です。でも、数の不思議さや数の神秘など、知ればワクワクできることがいっぱいあります。算数となかよくなれば、耳をすませば数たちのおしゃべりが聞こえてくることもあります。そこで、もっと多くのこどもたちに向けて、情報を発信していこうと考えました。メルマガ発行計画がスタートしました(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□［問題１］行きは時速４ｋｍ、帰りは時速６ｋｍの速さで歩いたときの、平均の速さは時速何ｋｍ？ふつうは、こんな問題だよね。［問題２］片道１２ｋｍの２つの地点の間を、行きは時速４ｋｍ、帰りは時速６ｋｍの速さで歩いたときの、平均の速さは時速何ｋｍ？［問題１］には、きょりがない！それで、ないときには、２つの方法があるんだ。＜第１の方法＞片道のきょりを １ とおくのさ。全体の量を１にすると、先生たちにはすっきり見える。大人たちにはウケがいい。答案は、先生に評価してもらうのだから、がまんしよう。ここで、じゅもんを唱えよう。魔法の式よ、出でよ！●×▲＝■●は 時速、つまり１時間に進むきょり▲は その何倍？ だから、何時間■は ●と同じ単位のきょりになる。いまは、●（速さ）と ■（きょり）が分かっている。きょりの■は、１だけれどね。だから、▲を求めるわり算！■÷●＝▲日本語で書けば、（きょり）÷（速さ）＝（時間）行きは１÷４＝１／４帰りは１÷６＝１／６往復で、きょりはいくつ？Ｒくんが答えます。「１＋１で２？」「合ってるよ！ もっと、自信をもって(^.^)」今度は、速さを求めるよ。速さは１時間あたりの量だから、魔女●を求めるわり算！■÷▲＝●■のきょりは、２だよ。▲は １／４＋１／６＝３／１２＋２／１２＝５／１２すると、式は２÷５／１２＝２×１２／５＝２４／５＝４．８答えは、時速４．８ｋｍ「時速４ｋｍと時速６ｋｍだから、平均の速さは時速５ｋｍかと思ったら、ちがうんだね。」とつぶやいたＲくん、不思議そうな顔をしています。実際に、時速５ｋｍとして、往復の時間は５／１２時間だったね。●が時速５ｋｍ▲が５／１２時間とおいて、●×▲＝■５×５／１２＝２５／１２ １＝２── １２２よりも、１／１２だけ多くなっちゃった！☆同じ時間で進むなら、平均の速さを時速５ｋｍとする考え方は可能です。たとえば、時計の長い針と短い針が、同じ時間を進むとき、長い針は ６度／分 （６０分で３６０度だから、魔女●は６度）短い針は ０．５度／分（６０分で３０度だから、魔女●は０．５度）この針をミックスした、つまり、平均の針の動きは第３の針 ３．２５度／分こんな話ができるのは、時間を同じにしたときだけ！出会い算や追いつき算も、時間が同じなので、速さを足したり、引いたりできるのです。Ｒくん、ちょっと混乱してきたみたい。６年分を一度にやっているから、行ったり来たり・・・大忙し。でも、こうやって、道をつくっているのです・・・第１の方法は、これでおしまい。次回は第２の方法に入っていきますね。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その２０ここまでの説明で、こどもたちが学校で教わるかけ算の不思議がお分かりいただけたと思います。●×▲＝■１単位 → ●▲単位 → ■こんなシステムが働いています。なので、厳しい先生は、規律を守るために３×５ と５×３は全く別物と教えます。それはそれでいいのですが、それならはじめから、教えてほしいものですね。●×▲＝■の説明は、５年生になって登場します。それまで、こどもたちはきちんとした説明を受けずに３×５ と５×３とは別物！と教わります。勘の良い子は、それでも分かります。しかし、たいていのこどもたちは、置き去りにされます。悲しいことです・・・そんなこどもたちに、「かけ算の本当」を伝えてほしいと思います。４年生までは（かけられる数）×（かける数）＝（答え）というスタイルで学びます。この（かけられる数）というのが、魔女●のことで、（かける数）が、魔法のつえ▲のことなのです。魔女●は１単位の数（量を教わった段階で量に拡張されます）これが分かれば、算数はとても楽になります。（つづく）
2005.07.05
コメント(1)
-
数の動きって？ その１９
中学生のＲくんに、算数に戻って数や式の不思議を体験してもらっています。遠回りのようですが、この門をくぐらないと、伸び悩みます。つぎの全体を１とおく話、中学ではｘ（エックス）とします。しかし、数に慣れておかないと、イメージがなかなかできません。そのなかでも、１は難物ですが・・・■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□全体の量を１とおく方法は、有名だね。だけれど、なぜ、１とおくのかな？マックは、１でなくてもかまわないと思うよ。１０でも、２０でも、きみの好きな数を「全体の量」にしてかまわない。だけれど、学校の先生が、みんなの答案を見るときに生徒によって 全体の量が１になっていたり１０になっていたり１００になっていたりすると、採点がややこしい。 そ れ に１という数は、きりがいいって見られるんだ。体育の授業のとき、整列するね。そして、番号を言っていく。 １ ２ ３ ・ ・ ・最初は、１からはじまるね。１は、ものごとの始まりを予感させる数。そして、どんな数も、小さくしていくと、再び１に戻る。「マック先生、分子が１なら、計算しやすいよ」Ｒくんが答えてくれた。それが一番の理由。こんな問題のときも、１を使うよ。［問題１］行きは時速４ｋｍ、帰りは時速６ｋｍの速さで歩いたときの、平均の速さは時速何ｋｍ？この問題には、「きょり」がない！なくても、慌ててはいけないよ。１を使えば済んでしまう。答えは、次回に(^.^)（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その１９魔法の式●×▲＝■は、●を▲倍したら■になるということだね。だから、たとえば３×５ と ５×３ と は 別 の 式 ！ ！ ！ ということになるんだ。（１）３×５ で問題をつくってみると・・・こども５人に木苺を３こずつあげました。全部でいくつあげましたか？こんな問題がつくれる。３ は 魔女●５ は 魔法のつえ▲「木苺を３こずつあげました」「（こども１人に）木苺を３こあげました」「（こども）１人あたり／（木苺を）３こ（あげました）」「１人あたり／３こ」「３こ／１人あたり」「３こ／人」１人 → ３こ５人 → ■こ●×▲＝■３こ×５倍＝１５こ３×５＝１５（２）こんどは ５×３ で問題をつくってみると・・・こどもが３人います。それぞれ胡桃を５こずつ、もらいました。全員でいくつもらったことになりますか？「胡桃を５こずつ」「（こども１人）胡桃を５こずつ」「（こども）１人（あたり）／（胡桃を）５こ（ずつ）」「１人あたり／５こ」「５こ／１人あたり」「５こ／人」１人 → ５こ３人 → ■こ●×▲＝■５こ×３倍＝１５こ５×３＝１５（つづく）
2005.07.04
コメント(0)
-
数の動きって？ その１８
前回の約数の和の話題から、問題です。２８の約数の和はいくつでしょう？答えは、一番最後に書きました。(^.^)それでは、Ｒくんのライブ中継の録画です・・・■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□２つのタイプのわり算をイメージしてみよう！［１］魔法のつえ▲を求めるわり算 ■÷●＝▲ ３５÷７＝５ 単位をつけてよう。 ３５人÷７人＝５倍 イメージは 定員３５人のバスに、１班７人のグループが乗ったとして 何班乗れるかな？ そんなイメージ ３５個のクルミを１組７個ずつに分けると、何組になる？ ○○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○ こんなわり算は、どう？ １÷２＝ 定員１人の部屋に、２人が入ろうとしても、１人しか入れない。 ○ ← ○○ 分からない？ そんな子は、キッチンに行って、 ママに１００ｃｃカップと２００ｃｃカップを出してもらおう。 （１）２００ｃｃカップにミルクを入れて、 何も入っていない１００ｃｃカップに、ミルクを入れてみよう！ ○ ← ○○ 入ったのは１００ｃｃ。 計算式は １００ｃｃ÷２００ｃｃ＝１／２ 小数で表せば、 １００ｃｃ÷２００ｃｃ＝０．５ ２００ｃｃのミルクくん、１００ｃｃの部屋に入ろうとしたけれど、 入れたのは、半分だけ・・・ 今度は、５０ｃｃカップを用意して！ すると、２００ｃｃのうち、５０ｃｃだけ入ったね。 ○ひとつを５０ｃｃとすると、２００ｃｃは○○○○になりますね。 すると、 ○ ← ○○○○ 図ではこんな感じ。 ５０ｃｃ÷２００ｃｃ＝１／４ ５０ｃｃ÷２００ｃｃ＝２５／１００＝０．２５ ２００ｃｃのミルクくん、５０ｃｃの部屋にも挑戦したけれど、 さらに、入れなくなって、 結局入れたのは、４分の１だけ・・・ 全体の量■を 単位あたり量●で割ると、 何倍という数が出てくるんだよ。 そして、 分数や小数のイメージづくりが、ここからは・じ・ま・る・・・［２］魔女のモニカ●を求めるわり算 ■÷▲＝● きみなら、どんなイメージをする？ 分・け・る 平等に分ける 平均して分ける ３５個のクルミをリスが７匹で分けました。 １匹あたり、何個のクルミが手に入りましか？ ３５個÷７＝５個 平均算の平均は魔女●のこと。 学校のテストを思い出して・・・ 算数のテストの答案用紙を集めよう。 ちゃんと取ってあるかな？ 答案用紙は、とても大切。 きみの強い点も、弱点も、きちんと分かる！ 答案用紙を捨てては、この先不安・・・ どこをどう直せばいいのか、分からない。 答案用紙から、最近やったテスト５枚を選んできて！ そして、紙に書こう。 第１回目 ８０点 第２回目 ９０点 第３回目 ８５点 第４回目 ７５点 第５回目 １００点 合計点は・・・ ８０＋９０＋８５＋７５＋１００ ＝８０＋９０＋８０＋８０＋１００ ＝２４０＋９０＋１００ ＝３３０＋１００ ＝４３０ 計算するときは、下へ下へと伸ばしていこう。 横に横に、ってつなげると、途中でミスしても 分からなくなるからね。 それで、合計は４３０点 → 全体の量■は４３０点 これを５つのお皿に等しい量（数）に盛っていく。 ５人のこどもに同じ数ずつ分ける。 だから、魔法のつえ▲が５人 ■÷▲＝● ４３０点÷５回＝８６点 この ８６点 が平均点。 「すると、平均点は魔女●のこと？」 Ｒくん、不思議そうに聞いてきました。 「もちろんだよ(^.^) これを特別に平均算と名前をつけて呼んでいるけれど、 種明かしをしちゃえば、 第二のタイプのわり算のこと！」 「なんだ、そうだったのかー。」 こんな話をしてしまうと、 問題集や参考書をつくっている会社から 営業妨害って言われそうだけれど、 数のしくみと、魔法の式が理解できれば、 それで算数の授業は終わってしまうのさ。」 マックは、ここにも何か陰謀のにおいを感じます(^.^) 簡単であるべきはずの算数を 分かりにくくしている犯人は一体、誰？ ＜仕事算も第２のタイプのわり算＞ 例えば、 ロビンはパパに頼まれた仕事を、 ５日で完成させました。 こんな問題が出されたら、 仕事の全体の量を１とするのが、いちおう、ルール。 それで、ロビンが１日にできる仕事量は、 １÷５（日）＝１／５ でも、Ｒくん、なんで仕事全体の量を１にするのか？ 分からない(^.^) （つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その１８「森の真ん中に池があります。この池のまわりをロビンが歩きました。１周するのに、１２分かかりました。ロビンが歩く速さは分速８０ｍです。では、池のまわりは、何ｍあるでしょうか？」●は見つかったかな？「１周するのに、１２分」 だから、●を１２分とした子がいたけれど、何周？という魔法の杖▲が見つからないよ。１周 → ●１２分▲周 → ■分 ？？？「分速８０ｍです。」というのが、あったね。↑ ここに注目！これは、「１分間に８０ｍ進みます。」って、考えるんだ。つまり、 「１分間に／８０ｍ／進みます。」 エキスだけ書くと 「１分間あたり／８０ｍ」だから、 「８０ｍ／分」これで●が出てきたね。魔女●は ８０ｍ並べてみよう！１分 → ８０ｍ▲分 → ■ｍ魔法の杖▲には、「分」がついているはず！さっきの「１周するのに、１２分」、ここにいた！１分間 → ８０ｍ12分間 → ■ｍじゅもんをとなえよう。「８０ｍの12倍は、■ｍ」魔法の式、いでよ！●×▲＝■８０ｍ×１２＝９６０ｍ分りやすいように、単位を入れておいたけれど、答案用紙の（式）には８０×１２＝９６０と、単位なしで書こうね。（つづく）☆冒頭の問題の答え ２８＝１＋２＋４＋７＋１４＝２８ 答えは ２８ 答えがもとの数と同じになる不思議な数です。 こういう数は「完全数」と呼ばれているんですよ(^.^)
2005.07.03
コメント(1)
-
数論は入試問題の宝庫
土曜日・・・空が今にも泣きそうです。ゆったりと本を読んでいました。そして、それにも飽きたので、散歩に行ってきました。コーヒー店に入って休憩し、ショルダーバックに入れた本を取り出して、また本の続きを読んで・・・こんな「まったり」とした時間は久しぶりです。朝方、書斎で本を探していたらこの本に出会いました。まだあまり目を通していませんでした。というか、買ったのを忘れていました(-_-;)この本は 博士の愛した数式 です。一昨年あたりは、本屋さんに行くと、数論の啓蒙書がたくさん並んでいました。著者の小川洋子さんの本も、随分ありましたね。ところで、この本もそうですが、話題になっている本は、すぐに入試問題に反映されます。この本に出てくる、「約数の和」も出題されていましたよ。約数の和っていうと、例えば４の約数の和は、４を除いて考えると、４ １＋２＝３６ １＋２＋３＝６ ← 約数の和がもとの数と同じ「完全数」です！８ １＋２＋４＝７このような感じで、どんどん計算していきます。素数は、いつも１にしかならないので、合成数だけを考えます。中学入試問題に、この応用問題が何回となく、出てきています。入試問題だから・・・というわけではありません。こういう一見ムダなことをやっていると、数が語りかけてくる瞬間が来ます。この本『博士の愛した数式』も、変わり者とされる数論の博士と、家政婦、そして、その子どもとの情感のある交流をとおして、興味のつきない数学の世界が展開されます。読者はそのやり取りに段々と没入し、気づいたら、いっしょに数学の世界に入っていた、というしかけになっています。読み物風ですが、算数･数学の本は、やはり、ペンを持って、博士の話を紙の上に再現していくと、楽しいひと時が過ごせます。
2005.07.02
コメント(0)
-
数の動きって？ その１７
今回のトピックにもなっている「２つのタイプのわり算」実は、重要なポイントが、この式には含まれています。このポイントが分かると、算数・数学の世界に コ ペ ル ニ ク ス 的 転 回が起こります。どういうことかというと、公式に対する考え方が１８０度変わってしまうのです。Ｒくんに、この説明をしたら、「今までの努力は何だったんだ～」と、のけぞっていました(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□［１］魔法のつえ▲を求めるわり算 ■÷●＝▲［２］魔女のモニカ●を求めるわり算 ■÷▲＝●［問題］９８個のクルミがあります。これって、姉リスが集めた大切なクルミです。でも、妹リスが友だち連れて、大切なクルミを見つけてしまったのです。姉リスは心優しかったので、みんなにぜ～んぶ分けてやりました。すると、１４個ずつになりました。妹リスは友だちを何匹連れてきたのでしょう？ ・ ・ ・クララ■は、９８個１４個ずつ、これは■と単位が同じだから魔女●式をつくる前に、情報を並べてみましょう。１匹あたり１４個 ▲匹で、９８個▲がわからない！だから、第一のタイプのわり算なんですね。■÷●＝▲９８個÷１４個＝７匹答えは、７匹 ？？？妹リスは友だちを何匹連れてきたか？ だから、７－１＝６ で、妹リスは除こうね！答え ６匹☆次回は、この２つのタイプのわり算について、 イメージ訓練をしてみましょう。 数が頭の中で動く？！ マックの頭の中では、動いています(^.^) 数たちが、何やら話しかけてくるのです。 （つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その１７魔法の式●×▲＝■じゅもんは「魔女●は、▲倍されて、クララ■になる。」●と■は、単位が同じになっているよ。次の問題は、どう？ ひとりで解けるかな？さあ、解いてみよう！「森にジュピターという名前の池があります。この池のまわりをロビンが歩きました。１周するのに、１２分かかりました。ロビンが歩く速さは分速８０ｍです。では、池のまわりは、何ｍあるでしょうか？」魔女●は？魔法のつえ▲は？この２つが見つかれば、 ・ ・ ・あとは、じゅもんをとなえて、●×▲＝■に入れて、答えは？（つづく）♪ 後書き ♪ 娘のカオリン（高校生です）から、数３の積分が わ か ら んというＳＯＳが出ています。何々・・？これは、微分方程式みたいですね。ふーっ、暫し、教えてきます・・・
2005.07.02
コメント(1)
-
数の動きって？ その１６
Ｒくん、算数と並行して、連立方程式のレッスンをしています。もちろん、魔法の式 ●×▲＝■ を使いながら、文章題に取り組んでいます。でも、「単位当たり量」、「割合」、「比」の３つが基本だよ。この３つの分野を制覇すれば、Ｒくんに、明るい未来がやってくる。今小学生の子、特に５，６年の子は、「単位当たり量」、「割合」、「比」をしっかりと身につけておこう！これが、数学や物理･化学の計算問題を好きになれるかどうかの、 別 れ 道魔法の式がわかってしまえば、ＯＫだよ(^.^)■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□わり算には、２つのタイプがありました。［１］魔法のつえ▲を求めるわり算 ■÷●＝▲［２］魔女のモニカ●を求めるわり算 ■÷▲＝●この２つでした。「何倍ですか？」 というタイプの問題なら［１］を使い、「全体が■個のとき、●個を求めなさい」というように■と単位が同じ●を求めるときには、［２］を使います。ふだんは、あまり意識することもありません。でも、わり算がこの２つのどちらか？ ということを意識してみると、問題が違って見えてきます。数たちが、おしゃべりしているのが、聞こえてきます。いつも急いでばかりいると、この「おしゃべり」が聞こえてきません。たとえば、いつも歩く道も、ちょっと立ち止まってみると、可憐な花に出会うことができるようなもの・・・それでは、次の問題は、どちらのわり算のタイプ？［問題］サリーは家から学校まで、２２００ｍのきょりを１１分で走りました。分速を求めなさい。 ・ ・ ・全体の量■は ２２００ｍ分速の単位も （ ）ｍ だ か ら分速は魔女●だ～この問題は、魔女●を求める問題。タイプ２のわり算ですね(^.^)●×▲＝■からスタートです。形を変えて、■÷▲＝●■に数を入れて、２２００ｍ÷▲倍＝●ｍところで、魔法のつえ▲は、どこ？１１分が▲です。つまり、１分あたり●ｍ▲分で■ｍこれで、式が完成！２２００ｍ÷１１分＝●ｍ答え 分速２００ｍ●、▲、■がいろんな形でつながっています。はじめのうちはなかなか見つからないかもしれません。みんな、はじめは迷います。でも、何度か通っているうちに、道はだんだん出来てきます。そのうち、通い慣れた道になります。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その１６魔法の杖▲は、単位のこと。合わせて ▲単位１単位から見れば、▲倍したことになる。こども１人 の２倍は こども２人「魔女●は、▲倍されて、■になる。」これは、おまじないの言葉、じゅもんだよ。「魔女●は、▲倍されて、クララ■になる。」「魔女●は、▲倍されて、クララ■になる。」「魔女●は、▲倍されて、クララ■になる。」 ・ ・ ・「森の妖精ニフが、こどもにキャンディを５個ずつ、 あげることにしました。 こどもが６人いるとしたら、 ニフは全部で何個用意しなければなりませんか？」魔女●から探そう。「こどもにキャンディを５個ずつ」「ずつ」ということは、「１人について」と言う意味だよ。だから、「こども１人についてキャンディを５個ずつ」スラッシュを入れて「こども１人について／キャンディを／５個ずつ」数字のところだけ集めて、「あたり」に変えて「こども１人あたり／５個ずつ」１は後ろに！「５個ずつ／こども１人あたり」「５個／人」魔女●は ５個 （単位もつけておこう）すると、並びは、単位もつけて１人 → ５個▲人 → ■個すると、魔法のつえ▲は、単位に「人」がつくっていうことが分かるから、それを文章から探すよ。 あ っ た ！「こどもが▲６人いるとしたら」１人 → ５個６人 → ■個これで、準備ができた！ フーッ・・・魔法の式 ●×▲＝■ の登場！●×▲＝■６×５＝？できましたか？６×５＝３０答え ３０個（つづく）
2005.07.02
コメント(0)
-
数の動きって？ その１５
２つの内容が、同時進行になっています。読みにくいかもしれません・・・でも、この２つは、関連しています。１つの流れだと、多分退屈します。２つでもおんなじ？(-_-;)Ｒくんのお話は、リアルタイムなので、どう展開していくか、マックにも分かりません。■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□＜第２のタイプのわり算＞魔法の式 ●×▲＝■からスタートします。左辺と右辺を入れかえて■＝●×▲魔法のつえ▲を移項しますよ。■÷▲＝●これが、魔女のモニカ●を求める式です。［例］３５個のクルミを７人のこどもに同じ個数ずつ分けました。１人何個もらえますか？考え方は、こうです。「１人何個」 これを魔女●にします。魔女●の単位は「個」。すると、クララ■の単位も「個」で、しかも、■は全体の量。「（全部で）３５個のクルミを」ここに、クララ■がいました！１人（１単位） → ●個▲人（▲単位） → ■個と並べ替えて、▲は７人すると、●×▲＝■は●個×▲人＝３５個３５個＝●個×▲人３５個＝●個×７人３５個÷７人＝●個こうして、答えは ５個 になります。わり算には、この２つのタイプがあります。「どちらのわり算をやっているの？」というのは、「いま、自分はどこにいるの？」ということ。自分のいる場所が分かれば、数のジャングルで、迷子になることはありません。次回は、この２つのタイプのわり算をもう少し、掘り下げてみます(^.^)（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その１５●×▲＝■この魔法の式に登場する魔女のモニカ●魔法のつえ▲少女クララ■を「単位」で並べかえてみよう。１単位 → 魔女のモニカ●▲単位 → 少女クララ■「森の妖精ニフが、こども１人にキャンディを３個ずつ、 あげることにしました。 こどもが２人いるとしたら、 ニフは全部で何個用意することになりますか？」この問題を、もう一度、見てみると・・・１単位 → ３ 個２単位 → ６ 個単位はここでは「人」だから、「人」におきかえると、１人 → ３ 個２人 → ６ 個この並べ方と３×２＝６を比べてみてね。１単位 → 魔女のモニカ●▲単位 → 少女クララ■●×▲＝■だよ。（つづく）
2005.07.01
コメント(1)
-
数の動きって？ その１４
■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□きょうは、２回目のレッスン日。Ｒくん、はりきって、やってきました。まず、かけ算の６の段まで、暗唱テストをしました。速く正確に言えること、これが大切です。ひたすら暗唱するだけ、そのうち、しくみが見えてきます。さて、きょうのテーマは、魔法の式 ●×▲＝■から、「わり算の世界」へ、一歩踏み出すこと・・・●×▲＝■ の左辺と右辺をチェンジします。■＝●×▲※「移項」と混同しないように、注意しましょう。わからなくなったら、簡単な数字におきかえて様子をみてみよう。たとえば、３×６＝１８この両辺をチェンジすると、１８＝３×６これを「左辺と右辺を入れかえる」といいます。Ａ＝Ｂならば、左辺と右辺を入れかえるとＢ＝Ａ元に戻ります。＜第１のタイプのわり算＞●×▲＝■左辺と右辺を入れかえて、■＝●×▲つぎは、魔女●を「移項」をします。■÷●＝▲クララ■を魔女●で割ると、魔法のつえ▲が出てきます。［例］１５個のクルミを何人かのこどもに３個ずつ分けました。何人のこどもに分けられますか？考え方は、こう進めます。「魔女●はどこにいる？」まず、●を探します。「３個ずつ」これって、「１人３個」つまり、 「３個／人」 ですね。魔女●は３、単位をつければ３個。すると、クララ■も（ ）個と、個がつくはず！☆魔女●とクララ■は、単位は同じ！☆■は全体の量ですね。そして、個という単位もついている、とすれば ・ ・ ・１５個がクララ■のことですね。●×▲＝■は、単位をつけて３個×▲倍＝１５個になります。（▲人としてもかまいません。）だから、魔法のつえ▲を求める問題なのです。左辺と右辺を入れかえて、１５個＝３個×▲倍３を移項します。１５個÷３個＝▲倍１５個÷３個＝５倍１単位（１倍）は１人です。だから、５単位（５倍）は５人になります。答え ５人ここでは、１単位あたり＝１人あたり＝１倍でこのように考えます。一方、魔法のつえは▲単位で＝▲人で＝▲倍でと考えます。次回は、いよいよ２つめのわり算に進みます。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その１４いよいよ、「魔法のつえ▲」に入るよ。●×▲＝■▲は「何倍？」という意味。●は１単位の量（数）それを２単位にすると・・・「森の妖精ニフが、こども１人にキャンディを３個ずつ、 あげることにしました。 こどもが２人いるとしたら、 ニフは全部で何個用意することになりますか？」魔女●は「こども１人にキャンディを３個ずつ」に隠れているよ。「こども１人にネ／（キャンディを）３個ずつ」「こども１人にネ／３個ずつ」「１人あたり／３個」「３個／１人あたり」「３個／人」だから、魔女●は３●×▲＝■３×▲＝■「こどもが２人」こどもが１人、これが１単位のことこどもが２人、これは２単位のこと１単位 から ２単位 へ ２倍になった！！！この２単位が魔法のつえ▲のことなんだ。だから、魔法のつえ▲は２●×▲＝■３×▲＝■３×２＝■だから、■には６が入る。３×２＝６■は少女クララだね。やっとクララが登場したよ。（つづく）
2005.07.01
コメント(0)
-
数の動きって？ その１３
■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□それから、Ｒくんに、いくつか問題を解いてもらいました。魔法の式●×▲＝■に慣れてもらうためです。「かけ算の本質」を理解してもらうため・・・このステップを踏まないと、魔女のモニカ●と友だちになれません。えっ！友だちになんか、なりたくないって！今はそれでもいいよ(^.^)でも、知らないうちに、友だちになっているから、ね。寝ているときに、きみの枕もとにそっとやってきて、算数の魔力を授けてくれる・・・って、そんなわけないか。基本は、積み重ねるしかないけれど、それにも「やり方」がある。むやみに努力しても、やり方が間違っていれば、とんでもない方向に行ってしまう。いつか、正しい方向が分かるときがくるかもしれないけれど、それにはとても時間がかかる。魔女や算数クルミたちと仲好くなれば、少なくとも、とんでもない方向に行くことはなくなるからね。次回から、「わり算」に入っていこう！こうして、Ｒくんの第１回目のレッスンは終わりました。（つづく）◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆■数の動きって？ その１３魔女●はいつでも、１を探せば、見つかるよ。１とは、１単位あたりの１ のこと１単位あたりの量とは、魔女の● １とは、１単位あたりの１ のこと１単位あたりの数とは、魔女の●文章にスラッシュ／を入れれば、もっと早く見つかるよ。（親御さんは、国語の文節を思い出して、ネのところでスラッシュを入れるように、お子さんに指導してください。）（６）「１週間は７日あります」 （ア）スラッシュを入れよう。 「１週間はネ／７日あります」 （イ）「あたり」を入れよう。 「１週間あたり／７日あります」 （ウ）１がついている文章は後ろに。 「７日あります／１週間あたり」 （エ）よけいな文字を取り払う。 「７日／１週」 これで、完成！！！ 魔女のモニカ●は、 ７（７）「１個で３０ｇの重さのクルミがありました。」 「１個でネ／３０ｇのネ／重さのクルミがありました。」 数字のついているところに注目！！！ 「１個でネ／３０ｇのネ」 「１個あたり／３０ｇ」 チェンジだよ。 「３０ｇ／１個あたり」 余計な文字を取ろう！「１」も省略！ 「３０ｇ／個」 魔女●は３０（８）「１枚５０円のハガキを２５枚買いました。」 魔女●を探そう。 「１枚ネ／５０円のネ／ハガキを２５枚買いました。」 「１枚ネ／５０円のネ」 「１枚あたり／５０円」 「５０円／１枚あたり」 「５０円／枚」 魔女●は５０（９）「おふろに水を入れました。 水道管から１分間に５リットルの水が出ます。」 「水道管からネ／１分間にネ／５リットルのネ／水が出ます。」 「１分間にネ／５リットル」 「１分間あたり／５リットル」 「５リットル／１分間あたり」 「５リットル／分」 魔女●は５（10）「おふろに水を入れました。 水道管から水を出すと、 １分間で６ｃｍずつ水面の高さが上がりました。」 「１分間でネ／６ｃｍずつネ／水面の高さが上がりました。」 「１分間でネ／６ｃｍずつ」 「１分間あたり／６ｃｍ」 「６ｃｍ／１分間あたり」 「６ｃｍ／分」 だから、魔女●は６もう、慣れてくれました？「６ｃｍ／分」は「６せんち・まい・ふん」と読むことも覚えておこうね。
2005.07.01
コメント(0)
全48件 (48件中 1-48件目)
1
-
-
- 子供服セール＆福袋情報★
- [正規品]【送料無料】予約 2027年新…
- (2026-10-02 10:03:46)
-
-
-
- 子供服セール情報と戦利品・福袋情報…
- 野生のはちみつボンボン！😍シル活☆…
- (2026-10-06 22:39:46)
-
