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千京夕夏
本を読んで、そこから行動に移していく。そうして夢を実現させていきたいと思っています。
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カテゴリ： 数学系
「あちらの世界」と「こちらの世界」があると仮定する。
「こちらの世界」とは我々の住んでいる世界である。
そして「あちらの世界」とは、
我々の世界を含んでいるが、我々にはその実態を把握できない
更に大きい世界
のことで、その世界があると仮定してみるのは
いろいろと楽しい。
いろいろと対比することができる。
「こちらの世界」 「あちらの世界」
浄土真宗 現世 極楽浄土
キリスト教 この世 天国（地獄）
船井幸雄
モンロー研 フォーカス21未満 フォーカス21以上
梅田望夫 インターネットの外側 情報発電所
量子力学 波動関数が収縮 波動関数の存在する場所
して得られる結果
数学 実数をもとにした数学 複素数をもとにした数学
「あちらの世界」の数学の項には、
「複素数をもとにした数学」と書いた。
今回はそのことについて述べる。
虚数という数がある。
これは２乗するとマイナス１になる数で、
実際の数として存在しない。
i と書く。（i×i＝-1）
高校の数学で習うのだが、数学を専門に学ばない人は
なんのために習うのか、疑問にもたれた方も多いと
思われる。
実際、虚数の存在がなければ、2次方程式
（解はプラス・マイナスi）
だが虚数だけでもだめで、実数と虚数を組み合わせた数で
なくてはならない。
その数を複素数という。
実は2次方程式のような代数方程式は、複素数まで数の概念を
拡張させることで、完璧になる。
いわゆる「複素数係数の代数方程式は複素数解を持つ」という
代数学の基本定理である
関数の概念も複素数まで拡げることができる。
複素数を変数にし、複素数に値を持つ関数を
複素関数という。
そして微分の概念を複素関数にまで拡張する。
そのような意味で微分可能な複素関数を正則関数という。
さてさて、こんなことを長々と書いてきた意味はというと
実は、正則関数と実関数を比べることで、
「こちらの世界」と「あちらの世界」との対比が
できるのである。
＜仮定その１＞
「あちらの世界」は美しく完璧。
「こちらの世界」は「あちらの世界」の姿を反映してはいるが
崩れた形での反映となっている
実関数と正則関数の特徴を比べてみよう。
実関数で1回微分可能であっても、その導関数が連続であるとは
限らない。ましてや1回微分可能であっても2回微分可能であるとも
いえない。
そして、任意回数微分可能であっても、解析関数でない場合もあり
実関数の場合は、それぞれ関数として異なるカテゴリーに属する。
だが、正則関数は1回の微分可能性がいえれば、導関数は連続であり、
しかも、2回、3回、・・・、任意回微分可能で、さらに解析関数でも
ある。
これはかなり、凄い話だと、私なんぞは、初めて知ったときに
思ったものである。
なぜ複素数の世界は、こんなに美しい世界なのか？
私には理解ができなかった。
これが「こちらの世界」と「あちらの世界」の差異であるとは
誰も述べない。
＜仮定 その２＞
「こちらの世界」でわからない問題を、
「あちらの世界」で考えることで、解決することがある
実積分で、原始関数が求めらない関数の無限積分で、
複素平面（あちらの世界）を経由することで
無限積分を求めることができる場合がある。
孤立特異点のまわりの弧で積分したときに
ローラン展開した時の１/Zの項以外の値が０に
なってしまうことを利用することで、
このような問題を解くことが可能になる場合がある。
今まで述べたことは、数学を専攻したものにとっては
自明のことである。
だが、あちらの世界を反映したことだとは
気がついていないだろう。
複素関数論は「あちらの世界」の
数学だったんですよ！
更に発展させた、多変数複素関数論、代数幾何などは
更に「あちらの世界」度が進化していると思われるが
詳細な対応は私には力不足でできない。
以上、単なる与太話ですので、あまり気になさらずに。
「こちらの世界」とは我々の住んでいる世界である。
そして「あちらの世界」とは、
我々の世界を含んでいるが、我々にはその実態を把握できない
更に大きい世界
のことで、その世界があると仮定してみるのは
いろいろと楽しい。
いろいろと対比することができる。
「こちらの世界」 「あちらの世界」
浄土真宗 現世 極楽浄土
キリスト教 この世 天国（地獄）
船井幸雄
モンロー研 フォーカス21未満 フォーカス21以上
梅田望夫 インターネットの外側 情報発電所
量子力学 波動関数が収縮 波動関数の存在する場所
して得られる結果
数学 実数をもとにした数学 複素数をもとにした数学
「あちらの世界」の数学の項には、
「複素数をもとにした数学」と書いた。
今回はそのことについて述べる。
虚数という数がある。
これは２乗するとマイナス１になる数で、
実際の数として存在しない。
i と書く。（i×i＝-1）
高校の数学で習うのだが、数学を専門に学ばない人は
なんのために習うのか、疑問にもたれた方も多いと
思われる。
実際、虚数の存在がなければ、2次方程式
（解はプラス・マイナスi）
だが虚数だけでもだめで、実数と虚数を組み合わせた数で
なくてはならない。
その数を複素数という。
実は2次方程式のような代数方程式は、複素数まで数の概念を
拡張させることで、完璧になる。
いわゆる「複素数係数の代数方程式は複素数解を持つ」という
代数学の基本定理である
関数の概念も複素数まで拡げることができる。
複素数を変数にし、複素数に値を持つ関数を
複素関数という。
そして微分の概念を複素関数にまで拡張する。
そのような意味で微分可能な複素関数を正則関数という。
さてさて、こんなことを長々と書いてきた意味はというと
実は、正則関数と実関数を比べることで、
「こちらの世界」と「あちらの世界」との対比が
できるのである。
＜仮定その１＞
「あちらの世界」は美しく完璧。
「こちらの世界」は「あちらの世界」の姿を反映してはいるが
崩れた形での反映となっている
実関数と正則関数の特徴を比べてみよう。
実関数で1回微分可能であっても、その導関数が連続であるとは
限らない。ましてや1回微分可能であっても2回微分可能であるとも
いえない。
そして、任意回数微分可能であっても、解析関数でない場合もあり
実関数の場合は、それぞれ関数として異なるカテゴリーに属する。
だが、正則関数は1回の微分可能性がいえれば、導関数は連続であり、
しかも、2回、3回、・・・、任意回微分可能で、さらに解析関数でも
ある。
これはかなり、凄い話だと、私なんぞは、初めて知ったときに
思ったものである。
なぜ複素数の世界は、こんなに美しい世界なのか？
私には理解ができなかった。
これが「こちらの世界」と「あちらの世界」の差異であるとは
誰も述べない。
＜仮定 その２＞
「こちらの世界」でわからない問題を、
「あちらの世界」で考えることで、解決することがある
実積分で、原始関数が求めらない関数の無限積分で、
複素平面（あちらの世界）を経由することで
無限積分を求めることができる場合がある。
孤立特異点のまわりの弧で積分したときに
ローラン展開した時の１/Zの項以外の値が０に
なってしまうことを利用することで、
このような問題を解くことが可能になる場合がある。
今まで述べたことは、数学を専攻したものにとっては
自明のことである。
だが、あちらの世界を反映したことだとは
気がついていないだろう。
複素関数論は「あちらの世界」の
数学だったんですよ！
更に発展させた、多変数複素関数論、代数幾何などは
更に「あちらの世界」度が進化していると思われるが
詳細な対応は私には力不足でできない。
以上、単なる与太話ですので、あまり気になさらずに。
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