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逆問題の考え方－結果から原因を探る数学－

「逆問題の考え方－結果から原因を探る数学－」（上村豊、講談社ブルーバックス）を読む。私のような地震学徒にとって避けて通れないのが逆問題・逆解析の類。本書では、重力探査や、恐竜絶滅の原因と言われている隕石衝突、物理でおなじみの振り子、量子力学、海洋循環などの豊富な具体例を通して、「逆問題とは何か？そしてどう解くべきか？」を解説している。筆者が数学者ということもあり、数学的な側面についての記述が充実しているのも特徴である。上記の各々の具体例についての計算手順がきちんと示されている。例えば重力探査の例では、万有引力の法則から重力異常の式を導くなどであり、これがあるおかげて読者はイメージが湧きやすいし、理解しやすい。更に嬉しいことに、逆解析の基本である連立１次方程式の安定した解の求め方についても、数学的にかなり充実した記述がある。大学院時代に習った擬似逆行列（本書の用語では、ムーア・ペンローズ逆行列）や特異値分解、チホノフ正則化解（いわゆる重み付き最小２乗解）などについて、改めて理解が深まった。言われてみれば当然なのだが、例えばCMT解析で観測点が１点しかない場合に、方程式３本でモーメントテンソルの５ないし６成分を求められるというのも、不足決定系という本書の言葉で理解できる。もちろん、過剰決定系の場合も言わずもがなである。本書の最後のほうでは再び量子力学が登場し、そこでは行列力学、KdV方程式、ソリトンなんて用語に出会う。さすがにこの辺になると量子力学って難しいなぁと改めて思うが、量子力学にも逆問題があるのかと思えばちょっと親しみも湧く感じである。強いて難を挙げるとすれば、くだらないジョークがあちこちにちりばめられていることだろうか。まぁそれも、数式が充実していることで充分カバーされていると私は思う。変な話、もうちょっと記述を充実させれば新書レベルを超えて大学の教科書としても使える１冊になりそうだと思うが、敢えて新書なのかも知れない。お手軽に、でもきちんと逆問題について学べる良書だと思う。最後に、気に入ったところを引用させて頂こう。このように、解が誤差等による観測データの変化に対して鋭敏に動く状況を、解の誤差に対する鋭敏性と言う。逆問題は、原因を定量的に求めるものである。そのために求めた解がささいな誤差のおかげで決定的に違ってくることは、厳密な計算から得られる答えが無意味で認めがたいものであることを意味する。この「解の誤差に対する鋭敏性」は、逆問題を解く上で、しばしば直面することになる。その原因は、逆問題の非適切性にある。観測を精密にすればするほど解が誤差に対して鋭敏になることだってあり得るのだ。2015年の２冊目読了。逆問題の考え方－結果から原因を探る数学－／上村豊